Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini necə tapmaq olar. Gözlənilən dəyər

– 10 yeni doğulmuş uşaq arasında oğlanların sayı.

Tamamilə aydındır ki, bu rəqəm əvvəlcədən məlum deyil və doğulan növbəti on uşaq aşağıdakıları əhatə edə bilər:

Ya oğlanlar - bir və tək sadalanan variantlardan.

Və formada qalmaq üçün bir az bədən tərbiyəsi:

- uzun tullanma məsafəsi (bəzi vahidlərdə).

Bunu hətta idman ustası belə proqnozlaşdıra bilməz :)

Bununla belə, fərziyyələriniz?

2) Davamlı təsadüfi dəyişən – qəbul edir Hamısı bəzi sonlu və ya sonsuz intervaldan ədədi dəyərlər.

Qeyd : DSV və NSV abbreviaturaları tədris ədəbiyyatında məşhurdur

Əvvəlcə diskret təsadüfi dəyişəni təhlil edək, sonra - davamlı.

Diskret təsadüfi kəmənin paylanma qanunu

- Bu yazışma bu kəmiyyətin mümkün dəyərləri ilə onların ehtimalları arasında. Çox vaxt qanun cədvəldə yazılır:

Termin olduqca tez-tez görünür sıra paylanması, lakin bəzi situasiyalarda qeyri-müəyyən səslənir və ona görə də mən “qanun”a sadiq qalacağam.

Və indi Çox mühüm məqam : təsadüfi dəyişəndən bəri Mütləq qəbul edəcək dəyərlərindən biridir, sonra müvafiq hadisələr əmələ gəlir tam qrup və onların baş vermə ehtimallarının cəmi birə bərabərdir:

və ya yığcam şəkildə yazılıbsa:

Beləliklə, məsələn, matrisdə yuvarlanan xalların ehtimal paylanması qanunu aşağıdakı formaya malikdir:

Şərhsiz.

Diskret təsadüfi dəyişənin yalnız “yaxşı” tam dəyərləri qəbul edə biləcəyi təəssüratında ola bilərsiniz. Gəlin illüziyanı dağıtaq - onlar hər şey ola bilər:

Misal 1

Bəzi oyunlarda aşağıdakı qalib paylama qanunu var:

...siz yəqin ki, çoxdandır xəyal edirsiniz :) Sizə bir sirr deyim - mən də. Xüsusilə də işimi bitirdikdən sonra sahə nəzəriyyəsi.

Həll: təsadüfi dəyişən üç qiymətdən yalnız birini qəbul edə bildiyi üçün müvafiq hadisələr əmələ gəlir tam qrup, yəni onların ehtimallarının cəmi birə bərabərdir:

“Partizanı” ifşa etmək:

– beləliklə, qalib gəlmə ehtimalı şərti vahidlər 0,4 təşkil edir.

Nəzarət: əmin olmağımız lazım olan budur.

Cavab verin:

Özünüz bir paylama qanunu tərtib etməyiniz lazım olduqda qeyri-adi deyil. Bunun üçün istifadə edirlər ehtimalın klassik tərifi, hadisə ehtimalları üçün vurma/toplama teoremləri və digər çiplər tervera:

Misal 2

Qutuda 50 var lotereya biletləri, bunların arasında 12 qalib var və onlardan 2-si hər biri 1000 rubl, qalanları isə hər biri 100 rubl qazanır. Təsadüfi dəyişənin paylanması üçün bir qanun tərtib edin - qutudan təsadüfi olaraq bir bilet çəkilərsə, uduşların ölçüsü.

Həll: qeyd etdiyiniz kimi, təsadüfi dəyişənin dəyərləri adətən yerləşdirilir artan qaydada. Buna görə də, ən kiçik uduşlarla, yəni rublla başlayırıq.

Cəmi 50 belə bilet var - 12 = 38 və buna görə klassik tərif:
– təsadüfi çəkilmiş biletin uduzma ehtimalı.

Digər hallarda hər şey sadədir. Rubl qazanma ehtimalı:

Yoxlayın: – və bu, bu cür tapşırıqların xüsusilə xoş anıdır!

Cavab verin: uduşların bölüşdürülməsinin arzu olunan qanunu:

Növbəti tapşırıq üçün müstəqil qərar:

Misal 3

Atıcının hədəfi vurma ehtimalı . Təsadüfi dəyişən üçün paylama qanununu tərtib edin - 2 atışdan sonra vuruşların sayı.

...Onun üçün darıxdığını bilirdim :) Gəlin xatırlayaq vurma və toplama teoremləri. Həll və cavab dərsin sonundadır.

Paylanma qanunu təsadüfi dəyişəni tamamilə təsvir edir, lakin praktikada yalnız bəzilərini bilmək faydalı (və bəzən daha faydalı) ola bilər. ədədi xüsusiyyətlər .

Diskret təsadüfi dəyişənin gözləntiləri

Danışan sadə dildə, Bu orta gözlənilən dəyər sınaq dəfələrlə təkrar edildikdə. Təsadüfi dəyişən ehtimallarla dəyərlər alsın müvafiq olaraq. Onda bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi bərabərdir məhsulların cəmi onun bütün dəyərləri müvafiq ehtimallara uyğundur:

və ya çökdü:

Məsələn, təsadüfi bir dəyişənin riyazi gözləntisini hesablayaq - zərbdə yuvarlanan xalların sayını:

İndi isə hipotetik oyunumuzu xatırlayaq:

Sual yaranır: ümumiyyətlə, bu oyunu oynamaq sərfəlidirmi? ...kimin təəssüratları var? Buna görə də bunu "təxminən" deyə bilməzsiniz! Ancaq bu suala riyazi gözləntiləri hesablamaqla asanlıqla cavab vermək olar, mahiyyətcə - çəkili orta Qazanma ehtimalına görə:

Beləliklə, bu oyunun riyazi gözləntisi itirmək.

Təəssüratlarınıza etibar etməyin - rəqəmlərə etibar edin!

Bəli, burada ardıcıl olaraq 10, hətta 20-30 dəfə qalib gələ bilərsiniz, lakin uzun müddətdə bizi qaçılmaz xarabalıq gözləyir. Və mən sizə belə oyunlar oynamağı məsləhət görməzdim :) Yaxşı, bəlkə də ancaq Əyləncə üçün.

Yuxarıda göstərilənlərin hamısından belə nəticə çıxır ki, riyazi gözlənti artıq RANDOM dəyər deyil.

Müstəqil tədqiqat üçün yaradıcı tapşırıq:

Misal 4

Cənab X aşağıdakı sistemdən istifadə edərək Avropa ruletini oynayır: o, daim “qırmızı”ya 100 rubl mərc edir. Təsadüfi dəyişənin - onun uduşlarının paylanması qanununu tərtib edin. Uduşların riyazi gözləntisini hesablayın və onu ən yaxın qəpiyə yuvarlaqlaşdırın. Nə qədər orta Oyunçu mərc etdiyi hər yüz üçün uduzurmu?

İstinad : Avropa ruletində 18 qırmızı, 18 qara və 1 yaşıl sektor (“sıfır”) var. Əgər “qırmızı” görünsə, oyunçuya ikiqat mərc ödənilir əks halda kazino gəlirinə daxil olur

Öz ehtimal cədvəllərinizi yarada biləcəyiniz bir çox başqa rulet sistemi var. Ancaq bu, heç bir paylama qanunlarına və ya cədvəllərinə ehtiyac duymadığımız haldır, çünki oyunçunun riyazi gözləntisinin tam olaraq eyni olacağı müəyyən edilmişdir. Sistemdən sistemə dəyişən yeganə şey budur

2. Ehtimal nəzəriyyəsinin əsasları

Gözlənilən dəyər

Ədədi dəyərləri olan təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirək. Çox vaxt nömrəni bu funksiya ilə əlaqələndirmək faydalıdır - onun "orta dəyəri" və ya necə deyərlər, "orta dəyər", "mərkəzi meyl indeksi". Bəziləri sonra aydın olacaq bir sıra səbəblərə görə riyazi gözlənti adətən “orta dəyər” kimi istifadə olunur.

Tərif 3. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri X zəng nömrəsi

olanlar. təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi, müvafiq elementar hadisələrin ehtimallarına bərabər çəkilərlə təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin çəkili cəmidir.

Misal 6. Kalıbın yuxarı üzündə görünən ədədin riyazi gözləntisini hesablayaq. Bu, birbaşa tərif 3-dən belə çıxır

Bəyanat 2. Təsadüfi dəyişən olsun X dəyərləri qəbul edir x 1, x 2,…, xm. Onda bərabərlik doğrudur

(5)

olanlar. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi, təsadüfi dəyişənin müəyyən dəyərləri qəbul etməsi ehtimallarına bərabər çəkilərlə təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin çəkili cəmidir.

Toplamanın birbaşa elementar hadisələr üzərində aparıldığı (4) bəndindən fərqli olaraq, təsadüfi hadisə bir neçə elementar hadisədən ibarət ola bilər.

Bəzən (5) əlaqəsi riyazi gözləntinin tərifi kimi qəbul edilir. Bununla belə, aşağıda göstərildiyi kimi 3-cü tərifdən istifadə etməklə, real hadisələrin ehtimal modellərinin qurulması üçün zəruri olan riyazi gözləntilərin xassələrini müəyyən etmək (5) münasibətindən istifadə etməkdən daha asandır.

(5) əlaqəsini sübut etmək üçün (4) ilə qruplaşdırırıq eyni dəyərlər təsadüfi dəyişən:

Sabit amil cəminin işarəsindən çıxarıla bildiyindən, onda

Hadisənin baş vermə ehtimalını təyin etməklə

Son iki əlaqədən istifadə edərək tələb olunanı əldə edirik:

Ehtimal-statistik nəzəriyyədə riyazi gözlənti anlayışı mexanikada ağırlıq mərkəzi anlayışına uyğun gəlir. Bunu nöqtələrə qoyaq x 1, x 2,…, xm kütlə sayı oxunda P(X= x 1 ), P(X= x 2 ),…, P(X= x m) müvafiq olaraq. Onda bərabərlik (5) göstərir ki, bu maddi nöqtələr sisteminin ağırlıq mərkəzi riyazi gözlənti ilə üst-üstə düşür ki, bu da 3-cü tərifin təbiiliyini göstərir.

Bəyanat 3. Qoy X- təsadüfi dəyər, M(X)- onun riyazi gözləntisi, A- müəyyən bir rəqəm. Sonra

1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 .

Bunu sübut etmək üçün əvvəlcə sabit olan təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirək, yəni. funksiya elementar hadisələrin məkanını bir nöqtəyə xəritələşdirir A. Sabit çarpan cəminin işarəsindən kənarda götürülə bildiyindən, onda

Əgər cəminin hər bir üzvü iki həddə bölünürsə, onda bütün cəmi iki cəmə bölünür ki, onlardan birincisi birinci, ikincisi isə ikinci həddi təşkil edir. Buna görə də iki təsadüfi dəyişənin cəminin riyazi gözləntiləri X+Y, elementar hadisələrin eyni fəzasında müəyyən edilmiş, riyazi gözləntilərin cəminə bərabərdir M(X) Və M(U) bu təsadüfi dəyişənlər:

M(X+Y) = M(X) + M(Y).

Və buna görə də M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Yuxarıda göstərildiyi kimi, M(M(X)) = M(X). Beləliklə, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.

Çünki (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - a)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a) 2 , Bu M[(X - a) 2 ] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} + M[(M(X) – a) 2 ]. Son bərabərliyi sadələşdirək. 3-cü müddəanın sübutunun əvvəlində göstərildiyi kimi, sabitin riyazi gözləntisi sabitin özüdür və buna görə də M[(M(X) – a) 2 ] = (M(X) – a) 2 . Sabit amil cəminin işarəsindən kənara çıxarıla bildiyinə görə M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a)M(X - M(X)). Son bərabərliyin sağ tərəfi 0-dır, çünki yuxarıda göstərildiyi kimi, M(X-M(X))=0. Beləliklə, M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 sübut edilməli olan şey idi.

Yuxarıdakılardan belə nəticə çıxır M[(X- a) 2 ] minimuma çatır A, bərabərdir M[(X- M(X)) 2 ], saat a = M(X), 3) bərabərliyində ikinci termindən bəri həmişə mənfi deyil və yalnız göstərilən qiymət üçün 0-a bərabərdir A.

Bəyanat 4. Təsadüfi dəyişən olsun X dəyərləri qəbul edir x 1, x 2,…, xm, və f ədədi arqumentin bəzi funksiyasıdır. Sonra

Bunu sübut etmək üçün riyazi gözləntiləri təyin edən bərabərliyin (4) sağ tərəfində eyni qiymətli şərtləri qruplaşdıraq:

Sabit amilin cəminin işarəsindən çıxarıla biləcəyindən və təsadüfi hadisənin baş vermə ehtimalının tərifindən (2) istifadə edərək əldə edirik.

Q.E.D.

Bəyanat 5. Qoy X Və U- elementar hadisələrin eyni fəzasında müəyyən edilmiş təsadüfi dəyişənlər; A Və b- bəzi rəqəmlər. Sonra M(aX+ bY)= aM(X)+ bM(Y).

Riyazi gözləmənin tərifindən və toplama simvolunun xüsusiyyətlərindən istifadə edərək bərabərlik zəncirini əldə edirik:

Lazım olduğu sübut edilmişdir.

Yuxarıda göstərilənlər riyazi gözləntinin başqa istinad nöqtəsinə və başqa ölçü vahidinə (keçid) keçiddən necə asılı olduğunu göstərir. Y=aX+b), həmçinin təsadüfi dəyişənlərin funksiyalarına. Alınan nəticələr texniki-iqtisadi təhlildə, müəssisənin maliyyə-təsərrüfat fəaliyyətinin qiymətləndirilməsində, bir valyutadan digərinə keçid zamanı xarici iqtisadi hesablamalarda, normativ-texniki sənədlərdə və s.-də daim istifadə olunur. müxtəlif parametrlər miqyası və yerdəyişməsi üçün eyni hesablama düsturlarının istifadəsi.

Əvvəlki

Paylanma qanunu təsadüfi dəyişəni tam xarakterizə edir. Ancaq çox vaxt paylama qanunu bilinmir və insan daha az məlumatla məhdudlaşmalıdır. Bəzən təsadüfi dəyişənləri təsvir edən nömrələrdən istifadə etmək daha sərfəlidir ədədi xüsusiyyətlər təsadüfi dəyişən. Əhəmiyyətli ədədi xüsusiyyətlərdən biri riyazi gözləntidir.

Gözlənilən dəyər, aşağıda göstəriləcəyi kimi, təxminən təsadüfi dəyişənin orta qiymətinə bərabərdir. Bir çox məsələləri həll etmək üçün riyazi gözləntiləri bilmək kifayətdir. Məsələn, birinci atıcının topladığı xalların sayının riyazi gözləntisinin ikincininkindən çox olduğu məlumdursa, o zaman birinci atıcı orta hesabla ikincidən daha çox xal toplayır və buna görə də, daha yaxşı vurur. ikincidən.

Tərif 4.1: Riyazi gözlənti Diskret təsadüfi dəyişən onun bütün mümkün dəyərlərinin və onların ehtimallarının məhsullarının cəmidir.

Təsadüfi dəyişən olsun X yalnız dəyərləri qəbul edə bilər x 1, x 2, … x n, onların ehtimalları müvafiq olaraq bərabərdir səh 1, p 2, … p n. Sonra riyazi gözlənti M(X) təsadüfi dəyişən X bərabərliklə müəyyən edilir

M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n.

Diskret təsadüfi dəyişən olarsa X o zaman mümkün dəyərlərin sayıla bilən dəstini alır

,

Üstəlik, bərabərliyin sağ tərəfindəki sıra mütləq birləşərsə, riyazi gözlənti mövcuddur.

Misal. Hadisənin baş vermə sayının riyazi gözləntisini tapın A bir sınaqda, əgər hadisənin baş vermə ehtimalı A bərabərdir səh.

Həll: Təsadüfi dəyər X- hadisənin baş vermə sayı A Bernoulli paylanmasına malikdir, belə ki

Beləliklə, bir sınaqda hadisənin baş vermə sayının riyazi gözləntisi bu hadisənin baş vermə ehtimalına bərabərdir.

Riyazi gözləmənin ehtimal mənası

Qoy istehsal olunsun n təsadüfi dəyişənin olduğu testlər X qəbul edildi m 1 dəfə dəyəri x 1, m 2 dəfə dəyəri x 2 ,…, m k dəfə dəyəri x k, və m 1 + m 2 + …+ m k = n. Sonra alınan bütün dəyərlərin cəmi X, bərabərdir x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .

Təsadüfi dəyişən tərəfindən alınan bütün dəyərlərin arifmetik ortası olacaqdır

Münasibət m i/n- nisbi tezlik W i dəyərlər x i hadisənin baş vermə ehtimalına təxminən bərabərdir p i, Harada , Buna görə də

Alınan nəticənin ehtimal mənası aşağıdakı kimidir: riyazi gözlənti təxminən bərabərdir(nə qədər dəqiq olsa, testlərin sayı bir o qədər çox olar) təsadüfi dəyişənin müşahidə olunan qiymətlərinin arifmetik ortası.

Riyazi gözləmənin xassələri

Mülk 1:Sabit dəyərin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir

Mülk 2:Sabit amil riyazi gözlənti işarəsindən kənarda götürülə bilər

Tərif 4.2: İki təsadüfi dəyişən adlandırılır müstəqil, əgər onlardan birinin paylanma qanunu digər kəmiyyətin hansı mümkün dəyərləri qəbul etməsindən asılı deyilsə. Əks halda təsadüfi dəyişənlər asılıdır.

Tərif 4.3: Bir neçə təsadüfi dəyişənçağırdı qarşılıqlı müstəqil, əgər onların hər hansı bir sayının paylanması qanunları digər kəmiyyətlərin hansı mümkün dəyərləri qəbul etməsindən asılı deyilsə.

Mülk 3:İki müstəqil təsadüfi dəyişənin hasilinin riyazi gözləntisi onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir.

Nəticə:Bir neçə qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir.

Əmlak 4:İki təsadüfi dəyişənin cəminin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.

Nəticə:Bir neçə təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.

Misal. Binom təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisini hesablayaq X - hadisənin baş vermə tarixi A V n təcrübələr.

Həll: Ümumi sayı X hadisənin baş vermələri A bu sınaqlarda fərdi sınaqlarda hadisənin baş vermə sayının cəmidir. Təsadüfi dəyişənləri təqdim edək X i– hadisənin baş vermə sayı i Riyazi gözlənti ilə Bernoulli təsadüfi dəyişənləri olan ci test, burada . Riyazi gözləmə xüsusiyyətinə görə bizdə var

Beləliklə, n və p parametrləri olan binom paylanmasının riyazi gözləntiləri np məhsuluna bərabərdir..

Misal. Silahdan atəş açarkən hədəfə dəymə ehtimalı p = 0,6. 10 atış vurularsa, vuruşların ümumi sayının riyazi gözləntisini tapın.

Həll: Hər atış üçün vuruş digər atışların nəticələrindən asılı deyil, buna görə də nəzərdən keçirilən hadisələr müstəqildir və nəticədə arzu olunan riyazi gözləntidir.

Artıq məlum olduğu kimi, paylanma qanunu təsadüfi dəyişəni tamamilə xarakterizə edir. Ancaq çox vaxt paylama qanunu bilinmir və insan daha az məlumatla məhdudlaşmalıdır. Bəzən təsadüfi dəyişəni cəmi təsvir edən rəqəmlərdən istifadə etmək daha sərfəlidir; belə nömrələr deyilir təsadüfi dəyişənin ədədi xüsusiyyətləri.

Əhəmiyyətli ədədi xüsusiyyətlərdən biri riyazi gözləntidir.

Riyazi gözlənti təxminən təsadüfi dəyişənin orta dəyərinə bərabərdir.

Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri onun bütün mümkün dəyərlərinin və onların ehtimallarının məhsullarının cəmidir.

Əgər təsadüfi dəyişən sonlu paylanma seriyası ilə xarakterizə olunursa:

X	x 1	x 2	x 3	…	x n
R	səh 1	səh 2	səh 3	…	r s

sonra riyazi gözlənti M(X) düsturla müəyyən edilir:

Davamlı təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi bərabərliklə müəyyən edilir:

təsadüfi dəyişənin ehtimal sıxlığı haradadır X.

Misal 4.7. Zər atarkən görünən xalların sayının riyazi gözləntisini tapın.

Həll:

Təsadüfi dəyər X 1, 2, 3, 4, 5, 6 qiymətlərini alır. Onun paylanma qanununu yaradaq:

X
R

Sonra riyazi gözlənti belədir:

Riyazi gözləmənin xüsusiyyətləri:

1. Sabit dəyərin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir:

M (S) = S.

2. Sabit amili riyazi gözləmə işarəsindən çıxarmaq olar:

M (CX) = CM (X).

3. İki müstəqil təsadüfi dəyişənin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir:

M(XY) = M(X)M(Y).

Misal 4.8. Müstəqil təsadüfi dəyişənlər X Və Y aşağıdakı paylama qanunları ilə verilir:

X					Y
R	0,6	0,1	0,3		R	0,8	0,2

XY təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisini tapın.

Həll.

Bu kəmiyyətlərin hər birinin riyazi gözləntilərini tapaq:

Təsadüfi dəyişənlər X Və Y müstəqildir, buna görə də tələb olunan riyazi gözlənti:

M(XY) = M(X)M(Y)=

Nəticə. Bir neçə qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir.

4. İki təsadüfi dəyişənin cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir:

M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Nəticə. Bir neçə təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.

Misal 4.9. Hədəfi vurma ehtimalı ilə 3 atış atılır səh 1 = 0,4; səh 2= 0,3 və səh 3= 0,6. Xitlərin ümumi sayının riyazi gözləntisini tapın.

Həll.

İlk atışdakı vuruşların sayı təsadüfi dəyişəndir X 1, yalnız iki dəyər qəbul edə bilər: 1 (vuruş) ehtimalı ilə səh 1= 0,4 və 0 (qaçır) ehtimalı ilə q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

İlk atışdakı vuruşların sayının riyazi gözləntiləri vuruş ehtimalına bərabərdir:

Eynilə, ikinci və üçüncü atışlar üçün vuruşların sayının riyazi gözləntilərini tapırıq:

M(X 2)= 0,3 və M(X 3)= 0,6.

Xitlərin ümumi sayı da üç atışın hər birindəki vuruşların cəmindən ibarət təsadüfi dəyişəndir:

X = X 1 + X 2 + X 3.

Tələb olunan riyazi gözlənti X Biz bunu cəminin riyazi gözləntisinə dair teoremdən istifadə edərək tapırıq.

Riyazi gözlənti tərifdir

Şah mat gözləyir riyazi statistikada və ehtimal nəzəriyyəsində dəyərlərin paylanmasını xarakterizə edən ən vacib anlayışlardan biri və ya ehtimallar təsadüfi dəyişən. Adətən təsadüfi dəyişənin bütün mümkün parametrlərinin çəkili ortası kimi ifadə edilir. Texniki analizdə, ədəd seriyalarının tədqiqində, davamlı və vaxt aparan proseslərin öyrənilməsində geniş istifadə olunur. Riskləri qiymətləndirərkən, ticarət zamanı qiymət göstəricilərini proqnozlaşdırarkən vacibdir maliyyə bazarları,-da oyun taktikasının strategiya və üsullarının işlənib hazırlanmasında istifadə olunur qumar nəzəriyyələri.

Şah mat gözləyir- Bu təsadüfi dəyişənin orta qiyməti, paylanması ehtimallar təsadüfi dəyişən ehtimal nəzəriyyəsində nəzərə alınır.

Şah mat gözləyir ehtimal nəzəriyyəsində təsadüfi dəyişənin orta qiymətinin ölçüsü. Təsadüfi dəyişən gözləntisini yoxlayın x ilə işarələnir M(x).

Riyazi gözlənti (Əhali orta) edir

Şah mat gözləyir

Şah mat gözləyir ehtimal nəzəriyyəsində, təsadüfi dəyişənin ala biləcəyi bütün mümkün dəyərlərin orta çəkisi.

Şah mat gözləyir təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərinin məhsullarının cəmi və bu dəyərlərin ehtimalları.

Riyazi gözlənti (Əhali orta) edir

Şah mat gözləyir Müəyyən bir qərardan alınan orta mənfəət, bir şərtlə ki, belə bir qərar nəzəriyyə çərçivəsində nəzərdən keçirilə bilər böyük rəqəmlər və uzun məsafə.

Şah mat gözləyir qumar nəzəriyyəsində, spekulyatorun hər bir mərc üzrə orta hesabla qazana və ya itirə biləcəyi uduşların miqdarı. Qumarın dilində möhtəkirlər buna bəzən "üstünlük" deyilir möhtəkir" (spekulyant üçün müsbət olarsa) və ya "ev kənarı" (spekulyant üçün mənfi olarsa).

Riyazi gözlənti (Əhali orta) edir