Diskret təsadüfi dəyişənin paylanması bərabər riyazi gözləntiyə malikdir. Gözləmə düsturu
Diskret ehtimal fəzasında verilmiş X təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisi (orta qiymət) seriya mütləq yaxınlaşdıqda m =M[X]=∑x i p i ədədidir.
Xidmətin məqsədi. Onlayn xidmətdən istifadə hesablanır gözlənilən dəyər, dispersiya və standart kənarlaşma(misal bax). Bundan əlavə, F(X) paylanma funksiyasının qrafiki çəkilir.
Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisinin xassələri
- Sabit qiymətin riyazi gözləntisi özünə bərabərdir: M[C]=C, C – sabit;
- M=C M[X]
- Təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir: M=M[X]+M[Y]
- Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir: M=M[X] M[Y] , əgər X və Y müstəqildirsə.
Dispersiya xassələri
- Sabit qiymətin dispersiyası sıfırdır: D(c)=0.
- Sabit əmsalı dispersiya işarəsinin altından onu kvadratlaşdırmaqla çıxarmaq olar: D(k*X)= k 2 D(X).
- Əgər X və Y təsadüfi dəyişənlər müstəqildirsə, onda cəmin dispersiyası dispersiyaların cəminə bərabərdir: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- X və Y təsadüfi dəyişənlər asılı olarsa: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Dispersiya üçün aşağıdakı hesablama düsturu etibarlıdır:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Misal. İki müstəqil təsadüfi dəyişən X və Y-nin riyazi gözləntiləri və dispersiyaları məlumdur: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Z=9X-8Y+7 təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisini və dispersiyasını tapın.
Həll. Riyazi gözləmənin xassələrinə əsasən: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Dispersiyanın xassələrinə əsasən: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Riyazi gözləntilərin hesablanması alqoritmi
Diskret təsadüfi dəyişənlərin xüsusiyyətləri: onların bütün dəyərləri natural ədədlərlə nömrələnə bilər; Hər bir dəyərə sıfırdan fərqli bir ehtimal təyin edin.- Cütləri bir-bir çarpırıq: x i p i .
- Hər cütün məhsulunu əlavə edin x i p i .
Məsələn, n = 4 üçün: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Nümunə №1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
m = ∑x i p i düsturundan istifadə edərək riyazi gözləntiləri tapırıq.
Gözləmə M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Dispersiyanı d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 düsturu ilə tapırıq.
Variasiya D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Standart kənarlaşma σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
Nümunə № 2. Diskret təsadüfi dəyişən aşağıdakı paylama seriyasına malikdir:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Həll. a-nın qiyməti aşağıdakı əlaqədən tapılır: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 və ya 0,24=3 a , buradan a = 0,08
Nümunə № 3. Diskret təsadüfi kəmənin dispersiyasının məlum olduğu halda onun paylanma qanununu və x 1-i təyin edin
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96
Həll.
Burada d(x) dispersiyasını tapmaq üçün düstur yaratmalısınız:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
burada gözlənti m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Məlumatlarımız üçün
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
və ya -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Müvafiq olaraq, tənliyin köklərini tapmalıyıq və onlardan ikisi olacaq.
x 3 =8, x 3 =12
x 1 şərtini ödəyən birini seçin
Diskret təsadüfi kəmənin paylanma qanunu
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
Artıq məlum olduğu kimi, paylanma qanunu təsadüfi dəyişəni tamamilə xarakterizə edir. Ancaq çox vaxt paylama qanunu bilinmir və insan daha az məlumatla məhdudlaşmalıdır. Bəzən təsadüfi dəyişəni cəmi təsvir edən rəqəmlərdən istifadə etmək daha sərfəlidir; belə nömrələr deyilir təsadüfi dəyişənin ədədi xüsusiyyətləri.
Əhəmiyyətli ədədi xüsusiyyətlərdən biri riyazi gözləntidir.
Riyazi gözlənti təxminən təsadüfi dəyişənin orta dəyərinə bərabərdir.
Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri onun bütün mümkün dəyərlərinin və onların ehtimallarının məhsullarının cəmidir.
Əgər təsadüfi dəyişən sonlu paylanma seriyası ilə xarakterizə olunursa:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | səh 1 | səh 2 | səh 3 | … | r s |
sonra riyazi gözlənti M(X) düsturla müəyyən edilir:
Davamlı təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi bərabərliklə müəyyən edilir:
təsadüfi dəyişənin ehtimal sıxlığı haradadır X.
Misal 4.7. Zər atarkən görünən xalların sayının riyazi gözləntisini tapın.
Həll:
Təsadüfi dəyər X 1, 2, 3, 4, 5, 6 qiymətlərini alır. Onun paylanma qanununu yaradaq:
| X | ||||||
| R |
Sonra riyazi gözlənti belədir:
Riyazi gözləmənin xüsusiyyətləri:
1. Sabit dəyərin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir:
M (S) = S.
2. Sabit amili riyazi gözləmə işarəsindən çıxarmaq olar:
M (CX) = CM (X).
3. İki müstəqil təsadüfi dəyişənin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir:
M(XY) = M(X)M(Y).
Misal 4.8. Müstəqil təsadüfi dəyişənlər X Və Y aşağıdakı paylama qanunları ilə verilir:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
XY təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisini tapın.
Həll.
Bu kəmiyyətlərin hər birinin riyazi gözləntilərini tapaq:
Təsadüfi dəyişənlər X Və Y müstəqildir, buna görə də tələb olunan riyazi gözlənti:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Nəticə. Bir neçə qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir.
4. İki təsadüfi dəyişənin cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir:
M (X + Y) = M (X) + M (Y).
Nəticə. Bir neçə təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.
Misal 4.9. Hədəfi vurma ehtimalı ilə 3 atış atılır səh 1 = 0,4; səh 2= 0,3 və səh 3= 0,6. Xitlərin ümumi sayının riyazi gözləntisini tapın.
Həll.
İlk atışdakı vuruşların sayı təsadüfi dəyişəndir X 1, yalnız iki dəyər qəbul edə bilər: 1 (vuruş) ehtimalı ilə səh 1= 0,4 və 0 (qaçır) ehtimalı ilə q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
İlk atışdakı vuruşların sayının riyazi gözləntiləri vuruş ehtimalına bərabərdir:
Eynilə, ikinci və üçüncü atışlar üçün vuruşların sayının riyazi gözləntilərini tapırıq:
M(X 2)= 0,3 və M(X 3)= 0,6.
Xitlərin ümumi sayı da üç atışın hər birindəki vuruşların cəmindən ibarət təsadüfi dəyişəndir:
X = X 1 + X 2 + X 3.
Tələb olunan riyazi gözlənti X Biz bunu cəminin riyazi gözləntisinə dair teoremdən istifadə edərək tapırıq.
Ehtimal nəzəriyyəsi riyaziyyatın yalnız ali təhsil müəssisələrinin tələbələri tərəfindən öyrənilən xüsusi sahəsidir. Hesablamaları və düsturları sevirsiniz? Diskret təsadüfi kəmənin normal paylanması, ansambl entropiyası, riyazi gözləntiləri və dispersiyası ilə tanış olmaq perspektivləri sizi qorxutmurmu? Onda bu mövzu sizin üçün çox maraqlı olacaq. Gəlin bu elm sahəsinin bir neçə ən mühüm əsas anlayışı ilə tanış olaq.
Əsasları xatırlayaq
Ehtimal nəzəriyyəsinin ən sadə anlayışlarını xatırlasanız belə, məqalənin ilk bəndlərini laqeyd yanaşmayın. Məsələ burasındadır ki, əsasları dəqiq dərk etmədən aşağıda müzakirə olunan düsturlarla işləyə bilməyəcəksiniz.
Deməli, hansısa təsadüfi hadisə baş verir, bəzi təcrübələr. Gördüyümüz tədbirlər nəticəsində bir neçə nəticə əldə edə bilərik - bəziləri daha tez-tez, digərləri isə daha az olur. Hadisənin baş vermə ehtimalı bir növdən faktiki əldə edilmiş nəticələrin sayının mümkün olanların ümumi sayına nisbətidir. Yalnız bu konsepsiyanın klassik tərifini bilməklə, fasiləsiz təsadüfi dəyişənlərin riyazi gözləntilərini və dispersiyasını öyrənməyə başlaya bilərsiniz.
Orta
Hələ məktəbdə, riyaziyyat dərsləri zamanı arifmetik orta ilə işləməyə başladın. Bu anlayış ehtimal nəzəriyyəsində geniş istifadə olunur və buna görə də diqqətdən kənarda qala bilməz. Hazırda bizim üçün əsas odur ki, təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri və dispersiyası üçün düsturlarda onunla qarşılaşacağıq.
Ədədlər ardıcıllığımız var və arifmetik ortanı tapmaq istəyirik. Bizdən tələb olunan hər şey mövcud olan hər şeyi ümumiləşdirmək və ardıcıllıqla elementlərin sayına bölməkdir. 1-dən 9-a kimi ədədlərimiz olsun.Elementlərin cəmi 45-ə bərabər olacaq və bu dəyəri 9-a böləcəyik.Cavab:- 5.
Dispersiya
Elmi dillə desək, dispersiya xarakteristikanın əldə edilmiş dəyərlərinin arifmetik ortadan sapmalarının orta kvadratıdır. Bir böyük latın hərfi ilə işarələnir D. Onu hesablamaq üçün nə lazımdır? Ardıcıllığın hər bir elementi üçün mövcud ədədlə arifmetik orta arasındakı fərqi hesablayırıq və kvadratını alırıq. Nəzərdən keçirdiyimiz hadisə üçün nəticələr ola biləcək qədər dəyər olacaq. Sonra, alınan hər şeyi yekunlaşdırırıq və ardıcıllıqdakı elementlərin sayına bölürük. Əgər beş mümkün nəticəmiz varsa, onda beşə bölün.
Dispersiyanın həm də problemləri həll edərkən istifadə etmək üçün yadda saxlanması lazım olan xüsusiyyətlər var. Məsələn, təsadüfi dəyişəni X dəfə artırdıqda, dispersiya X kvadrat dəfə artır (yəni X*X). Heç vaxt sıfırdan az deyil və dəyərlərin bərabər miqdarda yuxarı və ya aşağı dəyişməsindən asılı deyil. Əlavə olaraq, müstəqil sınaqlar üçün cəmin dispersiyası fərqlərin cəminə bərabərdir.
İndi biz mütləq diskret təsadüfi kəmiyyətin dispersiyasına və riyazi gözləntiyə dair nümunələri nəzərdən keçirməliyik.
Tutaq ki, biz 21 təcrübə keçirdik və 7 fərqli nəticə əldə etdik. Onların hər birini müvafiq olaraq 1, 2, 2, 3, 4, 4 və 5 dəfə müşahidə etdik. Dispersiya nəyə bərabər olacaq?
Əvvəlcə arifmetik ortanı hesablayaq: elementlərin cəmi, təbii ki, 21-dir. Onu 7-yə bölün, 3-ü əldə edin. İndi ilkin ardıcıllıqdakı hər bir ədəddən 3-ü çıxarın, hər bir dəyərin kvadratını alın və nəticələri birlikdə əlavə edin. Nəticə 12-dir. İndi bizim etməmiz lazım olan tək şey ədədi elementlərin sayına bölməkdir və deyəsən, bu qədərdir. Ancaq bir tutma var! Gəlin bunu müzakirə edək.
Təcrübələrin sayından asılılıq
Belə çıxır ki, dispersiya hesablanarkən məxrəcdə iki ədəddən biri ola bilər: ya N, ya da N-1. Burada N yerinə yetirilən təcrübələrin sayı və ya ardıcıllıqdakı elementlərin sayıdır (bu, mahiyyətcə eyni şeydir). Bu nədən asılıdır?
Testlərin sayı yüzlərlə ölçülürsə, məxrəcdə N qoymalıyıq, onda N-1. Alimlər sərhədi kifayət qədər simvolik şəkildə çəkmək qərarına gəldilər: bu gün o, 30 rəqəmindən keçir. Əgər biz 30-dan az təcrübə aparmışıqsa, onda məbləği N-1-ə, daha çox olarsa, N-ə böləcəyik.
Tapşırıq
Dispersiya və riyazi gözləmə məsələsinin həlli nümunəmizə qayıdaq. N və ya N-1-ə bölünməli olan 12 aralıq nömrəsini aldıq. 30-dan az olan 21 təcrübə apardığımız üçün ikinci variantı seçəcəyik. Cavab belədir: dispersiya 12/2 = 2-dir.
Gözlənilən dəyər
Bu məqalədə nəzərdən keçirməli olduğumuz ikinci konsepsiyaya keçək. Riyazi gözlənti bütün mümkün nəticələrin müvafiq ehtimallara vurulmasının əlavə edilməsinin nəticəsidir. Anlamaq lazımdır ki, əldə edilən dəyər, eləcə də dispersiyanın hesablanması nəticəsi, nə qədər nəticənin nəzərə alınmasından asılı olmayaraq, bütün problem üçün yalnız bir dəfə alınır.
Riyazi gözləmənin düsturu olduqca sadədir: biz nəticəni götürürük, onun ehtimalına vururuq, ikinci, üçüncü nəticə üçün eynisini əlavə edirik və s. Bu konsepsiya ilə bağlı hər şeyi hesablamaq çətin deyil. Məsələn, gözlənilən dəyərlərin cəmi cəminin gözlənilən dəyərinə bərabərdir. Eyni şey iş üçün də keçərlidir. Ehtimal nəzəriyyəsindəki hər kəmiyyət belə sadə əməliyyatları yerinə yetirməyə imkan vermir. Məsələni götürək və birdən öyrəndiyimiz iki anlayışın mənasını hesablayaq. Üstəlik, nəzəriyyə ilə diqqətimizi yayındırırdı - praktika vaxtıdır.
Daha bir misal
Biz 50 sınaq keçirdik və müxtəlif faizlərdə görünən 10 növ nəticə əldə etdik - 0-dan 9-a qədər rəqəmlər. Bunlar müvafiq olaraq: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Xatırladaq ki, ehtimalları əldə etmək üçün faiz dəyərlərini 100-ə bölmək lazımdır. Beləliklə, biz 0,02 alırıq; 0,1 və s. Təsadüfi kəmiyyətin dispersiyasına və riyazi gözləntiyə dair məsələnin həlli nümunəsini təqdim edək.
İbtidai məktəbdən xatırladığımız düsturdan istifadə edərək arifmetik orta hesablayırıq: 50/10 = 5.
İndi saymağı asanlaşdırmaq üçün ehtimalları "parçalarla" nəticələrin sayına çevirək. 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 və 9-u alırıq. Alınan hər bir dəyərdən arifmetik ortanı çıxarırıq, bundan sonra əldə edilən nəticələrin hər birinin kvadratını alırıq. Nümunə olaraq birinci elementdən istifadə edərək bunu necə edəcəyinə baxın: 1 - 5 = (-4). Sonrakı: (-4) * (-4) = 16. Digər dəyərlər üçün bu əməliyyatları özünüz edin. Hər şeyi düzgün etmisinizsə, hamısını əlavə etdikdən sonra 90 alacaqsınız.
90-ı N-ə bölməklə dispersiyanı və gözlənilən dəyəri hesablamağa davam edək. Nə üçün biz N-1-dən çox N-i seçirik? Düzdür, çünki həyata keçirilən təcrübələrin sayı 30-u keçir. Beləliklə: 90/10 = 9. Dispersiyanı əldə etdik. Fərqli bir nömrə alsanız, ümidsiz olmayın. Çox güman ki, hesablamalarda sadə səhvə yol vermisiniz. Yazdıqlarınızı iki dəfə yoxlayın və yəqin ki, hər şey öz yerinə düşəcək.
Nəhayət, riyazi gözləmə formulunu xatırlayın. Bütün hesablamaları verməyəcəyik, yalnız bütün tələb olunan prosedurları yerinə yetirdikdən sonra yoxlaya biləcəyiniz bir cavab yazacağıq. Gözlənilən dəyər 5.48 olacaq. İlk elementləri nümunə kimi istifadə edərək yalnız əməliyyatların necə yerinə yetirildiyini xatırlayaq: 0*0.02 + 1*0.1... və s. Gördüyünüz kimi, biz sadəcə nəticə dəyərini onun ehtimalına vururuq.
Sapma
Dispersiya və riyazi gözlənti ilə yaxından əlaqəli başqa bir anlayış standart kənarlaşmadır. O, ya latın hərfləri ilə sd, ya da yunanca kiçik “sigma” ilə işarələnir. Bu konsepsiya dəyərlərin mərkəzi xüsusiyyətdən orta hesabla nə qədər kənara çıxdığını göstərir. Onun dəyərini tapmaq üçün dispersiyanın kvadrat kökünü hesablamaq lazımdır.
Əgər siz normal paylanma qrafikini tərtib edirsinizsə və onun üzərində kvadratdan kənarlaşmanı birbaşa görmək istəyirsinizsə, bu, bir neçə mərhələdə həyata keçirilə bilər. Şəklin yarısını rejimin soluna və ya sağına çəkin (mərkəzi dəyər), üfüqi oxa perpendikulyar çəkin ki, yaranan fiqurların sahələri bərabər olsun. Paylanmanın ortası ilə üfüqi ox üzərində yaranan proyeksiya arasındakı seqmentin ölçüsü standart sapmanı təmsil edəcəkdir.
Proqram təminatı
Düsturların təsvirindən və təqdim olunan nümunələrdən göründüyü kimi, dispersiya və riyazi gözləntilərin hesablanması arifmetik baxımdan ən sadə prosedur deyil. Vaxt itirməmək üçün ali təhsil müəssisələrində istifadə olunan proqramdan istifadə etmək məqsədəuyğundur - bu, "R" adlanır. Statistika və ehtimal nəzəriyyəsindən bir çox anlayışlar üçün dəyərləri hesablamağa imkan verən funksiyalara malikdir.
Məsələn, siz dəyərlər vektorunu təyin edirsiniz. Bu aşağıdakı kimi edilir: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Nəhayət
Dispersiya və riyazi gözləntilər bunlarsız gələcəkdə nəyisə hesablamaq çətindir. Universitetlərdə mühazirələrin əsas kursunda onlar mövzunun öyrənilməsinin ilk aylarında artıq müzakirə olunur. Məhz bu sadə məfhumları başa düşmədiklərinə və onları hesablaya bilməmələrinə görə bir çox tələbələr proqramdan dərhal geri qalmağa başlayırlar və sonradan sessiyanın sonunda pis qiymətlər alırlar ki, bu da onları təqaüddən məhrum edir.
Ən azı bir həftə, gündə yarım saat məşq edin, bu məqalədə təqdim olunanlara bənzər vəzifələri həll edin. Sonra, ehtimal nəzəriyyəsində hər hansı bir testdə, kənar məsləhətlər və fırıldaqçı vərəqlər olmadan nümunələrin öhdəsindən gələ biləcəksiniz.
Böyüklük
Təsadüfi elementlərin əsas ədədi xarakteristikaları
Sıxlığın paylanması qanunu təsadüfi dəyişəni xarakterizə edir. Ancaq çox vaxt bu bilinmir və insan özünü daha az məlumatla məhdudlaşdırmalı olur. Bəzən cəmi bir təsadüfi dəyişəni təsvir edən nömrələrdən istifadə etmək daha sərfəlidir. Belə nömrələr deyilir ədədi xüsusiyyətlər təsadüfi dəyişən. Əsas olanlara baxaq.
Tərif:Diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisi M(X) bu kəmiyyətin bütün mümkün qiymətlərinin məhsullarının və onların ehtimallarının cəmidir:
Diskret təsadüfi dəyişən olarsa X sayıla biləcək çoxlu mümkün qiymətlər alır, onda
Üstəlik, riyazi gözlənti, əgər bu seriya tamamilə yaxınlaşsa, mövcuddur.
Tərifdən belə çıxır M(X) diskret təsadüfi dəyişən təsadüfi olmayan (sabit) dəyişəndir.
Misal: Qoy X- hadisənin baş vermə sayı A bir imtahanda, P(A) = p. Riyazi gözləntiləri tapmaq lazımdır X.
Həll: Cədvəl paylama qanunu yaradaq X:
| X | 0 | 1 |
| P | 1 - səh | səh |
Riyazi gözləntiləri tapaq:
Beləliklə, bir sınaqda hadisənin baş vermə sayının riyazi gözləntisi bu hadisənin baş vermə ehtimalına bərabərdir.
Termin mənşəyi gözlənilən dəyər ehtimal nəzəriyyəsinin yaranmasının ilkin dövrü (XVI-XVII əsrlər) ilə əlaqədardır ki, onun tətbiq dairəsi qumar oyunları ilə məhdudlaşır. Oyunçu gözlənilən qələbənin orta dəyəri ilə maraqlandı, yəni. qələbənin riyazi gözləntisi.
Gəlin nəzərdən keçirək riyazi gözləmənin ehtimal mənası.
Qoy istehsal olunsun n təsadüfi dəyişənin olduğu testlər X qəbul edildi m 1 dəfə dəyəri x 1, m 2 dəfə dəyəri x 2 və s. və nəhayət, o, qəbul etdi m k dəfə dəyəri x k, və m 1 + m 2 +…+ + m k = n.
Sonra təsadüfi dəyişən tərəfindən alınan bütün dəyərlərin cəmi X, bərabərdir x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.
Təsadüfi dəyişən tərəfindən alınan bütün dəyərlərin arifmetik ortası X, bərabərdir:
çünki hər hansı bir dəyər üçün dəyərin nisbi tezliyidir i = 1, …, k.
Məlum olduğu kimi, əgər testlərin sayı n kifayət qədər böyükdürsə, onda nisbi tezlik təxminən hadisənin baş vermə ehtimalına bərabərdir, buna görə də,
Beləliklə, .
Nəticə:Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi təsadüfi dəyişənin müşahidə olunan dəyərlərinin arifmetik ortasına təxminən bərabərdir (nə qədər dəqiq olsa, testlərin sayı bir o qədər çox olar).
Riyazi gözləmənin əsas xassələrini nəzərdən keçirək.
Mülk 1:Sabit dəyərin riyazi gözləntisi sabit dəyərin özünə bərabərdir:
M(C) = C.
Sübut: Sabit İLƏ hesab edilə bilər ki, bunun bir mümkün mənası var İLƏ və bunu ehtimalla qəbul edir p = 1. Beləliklə, M(C) = C 1= S.
müəyyən edək sabit dəyişən C və diskret təsadüfi dəyişən X məhsulu diskret təsadüfi dəyişən kimi CX, mümkün dəyərləri sabitin məhsullarına bərabərdir İLƏ mümkün dəyərlərə X CX uyğun mümkün qiymətlərin ehtimallarına bərabərdir X:
| CX | C | C | … | C |
| X | … | |||
| R | … |
Mülk 2:Sabit amili riyazi gözləmə işarəsindən çıxarmaq olar:
M(CX) = CM(X).
Sübut: Təsadüfi dəyişən olsun X ehtimal paylanması qanunu ilə verilir:
| X | … | |||
| P | … |
Təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanması qanununu yazaq CX:
| CX | C | C | … | C |
| P | … |
M(CX) = C +C =C + ) = C M(X).
Tərif:İki təsadüfi dəyişən müstəqil adlanır, əgər onlardan birinin paylanma qanunu digər dəyişənin hansı mümkün dəyərləri qəbul etməsindən asılı deyildir. Əks halda, təsadüfi dəyişənlər asılıdır.
Tərif:Bir neçə təsadüfi dəyişənlərin bir-birindən müstəqil olduğu deyilir, əgər onlardan hər hansı birinin paylanma qanunları qalan dəyişənlərin hansı mümkün dəyərləri qəbul etməsindən asılı deyildir.
müəyyən edək müstəqil diskret təsadüfi dəyişənlərin hasili X və Y diskret təsadüfi dəyişən kimi XY, mümkün dəyərləri hər bir mümkün dəyərin məhsullarına bərabərdir X hər mümkün dəyər üçün Y. Mümkün dəyərlərin ehtimalları XY amillərin mümkün qiymətlərinin ehtimallarının məhsullarına bərabərdir.
Təsadüfi dəyişənlərin paylanmaları verilsin X Və Y:
| X | … | |||
| P | … |
| Y | … | |||
| G | … |
Sonra təsadüfi dəyişənin paylanması XY formaya malikdir:
| XY | … | |||
| P | … |
Bəzi əsərlər bərabər ola bilər. Bu halda məhsulun mümkün dəyərinin ehtimalı müvafiq ehtimalların cəminə bərabərdir. Məsələn, = olarsa, dəyərin ehtimalı belədir
Mülk 3:İki müstəqil təsadüfi dəyişənin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir:
M(XY) = M(X) M(Y).
Sübut: Müstəqil təsadüfi dəyişənlər olsun X Və Yöz ehtimal paylama qanunları ilə müəyyən edilir:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Hesablamaları sadələşdirmək üçün biz özümüzü az sayda mümkün dəyərlərlə məhdudlaşdıracağıq. Ümumi halda sübut oxşardır.
Təsadüfi dəyişənin paylanma qanununu yaradaq XY:
| XY | ||||
| P |
M(XY) =
M(X) M(Y).
Nəticə:Bir neçə qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir.
Sübut: Qarşılıqlı müstəqil üç təsadüfi dəyişən üçün sübut edək X,Y,Z. Təsadüfi dəyişənlər XY Və Z müstəqildir, onda alırıq:
M(XYZ) = M(XY Z) = M(XY) M(Z) = M(X) M(Y) M(Z).
Qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin ixtiyari sayı üçün sübut riyazi induksiya üsulu ilə həyata keçirilir.
Misal: Müstəqil təsadüfi dəyişənlər X Və Y
| X | 5 | 2 | |
| P | 0,6 | 0,1 | 0,3 |
| Y | 7 | 9 |
| G | 0,8 | 0,2 |
Tapmaq lazımdır M(XY).
Həll: Təsadüfi dəyişənlərdən bəri X Və Y deməli müstəqildirlər M(XY)=M(X) M(Y)=(5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.
müəyyən edək diskret təsadüfi dəyişənlərin cəmi X və Y diskret təsadüfi dəyişən kimi X+Y, mümkün dəyərləri hər bir mümkün dəyərin cəminə bərabərdir X hər mümkün dəyərlə Y. Mümkün dəyərlərin ehtimalları X+Y müstəqil təsadüfi dəyişənlər üçün X Və Yşərtlərin ehtimallarının hasillərinə, asılı təsadüfi dəyişənlər üçün isə bir müddətin ehtimalının ikincinin şərti ehtimalına hasilinə bərabərdir.
Əgər = və bu dəyərlərin ehtimalları müvafiq olaraq bərabərdirsə, ehtimal (kimi ilə eyni) bərabərdir.
Mülk 4:İki təsadüfi dəyişənin (asılı və ya müstəqil) cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Sübut:İki təsadüfi dəyişən olsun X Və Y aşağıdakı paylama qanunları ilə verilir:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Nəticəni sadələşdirmək üçün özümüzü hər bir kəmiyyətin iki mümkün dəyəri ilə məhdudlaşdıracağıq. Ümumi halda sübut oxşardır.
Təsadüfi dəyişənin bütün mümkün qiymətlərini tərtib edək X+Y(sadəlik üçün fərz edək ki, bu dəyərlər fərqlidir; yoxsa, sübut oxşardır):
| X+Y | ||||
| P |
Bu dəyərin riyazi gözləntisini tapaq.
M(X+Y) = + + + +
+ = olduğunu sübut edək.
Hadisə X = ( onun ehtimalı P(X = ) təsadüfi dəyişən hadisəsini ehtiva edir X+Y dəyərini alacaq və ya (bu hadisənin ehtimalı, toplama teoreminə görə, bərabərdir) və əksinə. Sonra =.
= = = bərabərlikləri də oxşar şəkildə isbat edilir
Bu bərabərliklərin sağ tərəflərini riyazi gözlənti üçün yaranan düsturla əvəz edərək əldə edirik:
M(X + Y) = + ) = M(X) + M(Y).
Nəticə:Bir neçə təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.
Sübut:Üç təsadüfi dəyişən üçün sübut edək X,Y,Z. Təsadüfi dəyişənlərin riyazi gözləntisini tapaq X+Y Və Z:
M(X+Y+Z)=M((X+Y Z)=M(X+Y) M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)
İxtiyari sayda təsadüfi dəyişənlər üçün sübut riyazi induksiya üsulu ilə həyata keçirilir.
Misal:İki zər atarkən əldə edilə bilən xalların cəminin ortasını tapın.
Həll: Qoy X– ilk zarda görünə biləcək xalların sayı, Y- İkincidə. Aydındır ki, təsadüfi dəyişənlər X Və Y eyni paylamalara malikdir. Dağıtım məlumatlarını yazaq X Və Y bir cədvəldə:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
M(X) = M(Y) (1+2+3+4+5+6) = =
M(X + Y) = 7.
Beləliklə, iki zər atarkən görünə biləcək xalların cəminin orta qiyməti 7 .
Teorem:n müstəqil sınaqda A hadisəsinin baş vermə sayının M(X) riyazi gözləntisi sınaqların sayının və hər sınaqda hadisənin baş vermə ehtimalının hasilinə bərabərdir: M(X) = np.
Sübut: Qoy X- hadisənin baş vermə sayı A V n müstəqil testlər. Aydındır ki, ümumi sayı X hadisənin baş vermələri A bu sınaqlarda fərdi sınaqlarda hadisənin baş vermə sayının cəmidir. Sonra, əgər birinci məhkəmədə bir hadisənin baş vermə sayı, ikincidə və s., nəhayət, hadisənin baş vermə sayıdırsa. n-ci testdən sonra hadisənin baş vermələrinin ümumi sayı düsturla hesablanır:
By Riyazi gözləntinin 4-cü xassəsi bizdə:
M(X) = M( ) + … + M( ).
Bir sınaqda hadisənin baş vermə sayının riyazi gözləntisi hadisənin baş vermə ehtimalına bərabər olduğundan, onda
M( ) = M( )= … = M( ) = səh.
Beləliklə, M(X) = np.
Misal: Silahdan atəş açarkən hədəfi vurma ehtimalı bərabərdir p = 0,6. Əgər edilmişsə, orta vuruş sayını tapın 10 atışlar.
Həll: Hər atış üçün vuruş digər atışların nəticələrindən asılı deyil, buna görə də nəzərdən keçirilən hadisələr müstəqildir və buna görə də tələb olunan riyazi gözlənti aşağıdakılara bərabərdir:
M(X) = np = 10 0,6 = 6.
Beləliklə, ortalama hit sayı 6-dır.
İndi fasiləsiz təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini nəzərdən keçirin.
Tərif:Mümkün dəyərləri intervala aid olan fasiləsiz təsadüfi dəyişən X-in riyazi gözləntisi,müəyyən inteqral adlanır:
burada f(x) ehtimalın paylanma sıxlığıdır.
Davamlı təsadüfi dəyişən X-in mümkün dəyərləri bütün Ox oxuna aiddirsə, onda
Güman edilir ki, bu düzgün olmayan inteqral mütləq yaxınlaşır, yəni. inteqral yaxınlaşır Əgər bu tələb yerinə yetirilməsəydi, onda inteqralın dəyəri (ayrıca) aşağı həddin -∞, yuxarı həddin isə +∞-ə meyl etmə sürətindən asılı olardı.
Bunu sübut etmək olar diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisinin bütün xassələri davamlı təsadüfi dəyişən üçün qorunur.. Sübut müəyyən və düzgün olmayan inteqralların xassələrinə əsaslanır.
Aydındır ki, riyazi gözlənti M(X) təsadüfi dəyişənin ən kiçikindən böyük və mümkün olan ən böyük dəyərindən kiçik X. Bunlar. ədəd oxunda təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri onun riyazi gözləntisinin solunda və sağında yerləşir. Bu mənada riyazi gözlənti M(X) paylanma yerini xarakterizə edir və buna görə də tez-tez adlanır paylama mərkəzi.
Fəsil 6.
Təsadüfi dəyişənlərin ədədi xarakteristikası
Riyazi gözlənti və onun xassələri
Bir çox praktiki problemləri həll etmək üçün təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərini və onların ehtimallarını bilmək həmişə tələb olunmur. Üstəlik, bəzən tədqiq olunan təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu sadəcə olaraq bilinmir. Bununla belə, bu təsadüfi dəyişənin bəzi xüsusiyyətlərini, başqa sözlə, ədədi xüsusiyyətlərini vurğulamaq lazımdır.
Rəqəmsal xüsusiyyətlər– bunlar təsadüfi dəyişənin müəyyən xassələrini, fərqləndirici xüsusiyyətlərini xarakterizə edən bəzi rəqəmlərdir.
Məsələn, təsadüfi dəyişənin orta qiyməti, təsadüfi dəyişənin bütün qiymətlərinin onun orta ətrafında orta yayılması və s. Ədədi xarakteristikaların əsas məqsədi tədqiq olunan təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının ən mühüm xüsusiyyətlərini yığcam şəkildə ifadə etməkdir. Ədədi xüsusiyyətlər ehtimal nəzəriyyəsində böyük rol oynayır. Onlar paylama qanunlarını bilmədən belə bir çox vacib praktiki problemləri həll etməyə kömək edir.
Bütün ədədi xüsusiyyətlər arasında biz ilk növbədə vurğulayırıq mövqe xüsusiyyətləri. Bunlar ədədi oxda təsadüfi dəyişənin mövqeyini təyin edən xüsusiyyətlərdir, yəni. təsadüfi dəyişənin qalan dəyərlərinin qruplaşdırıldığı müəyyən bir orta dəyər.
Mövqenin xüsusiyyətlərindən ehtimal nəzəriyyəsində ən böyük rolu riyazi gözlənti oynayır.
Gözlənilən dəyər bəzən sadəcə təsadüfi dəyişənin ortası adlanır. Bu, bir növ paylama mərkəzidir.
Diskret təsadüfi dəyişənin gözləntiləri
Əvvəlcə diskret təsadüfi dəyişən üçün riyazi gözlənti anlayışını nəzərdən keçirək.
Rəsmi tərifi təqdim etməzdən əvvəl aşağıdakı sadə məsələni həll edək.
Misal 6.1. Müəyyən bir atıcı hədəfə 100 atəş açsın. Nəticədə, aşağıdakı şəkil əldə edildi: 50 atış - "səkkizə" vurmaq, 20 atış - "doqquz"u vurmaq və 30 - "onluğa" vurmaq. Bir atış üçün orta xal nədir?
Həll Bu problem göz qabağındadır və 100 ədədin orta qiymətini, yəni balları tapmaq üçün aşağıya doğru gedir.
Biz payı məxrəc termininə bölmək yolu ilə kəsri çeviririk və orta dəyəri aşağıdakı düstur şəklində təqdim edirik:
İndi fərz edək ki, bir atışdakı xalların sayı bəzi diskret təsadüfi dəyişənin dəyərləridir. X. Problem bəyanatından aydın olur ki X 1 =8; X 2 =9; X 3 =10. Bu dəyərlərin meydana gəlməsinin nisbi tezlikləri məlumdur, məlum olduğu kimi, çox sayda test ilə təxminən müvafiq dəyərlərin ehtimallarına bərabərdir, yəni. R 1 ≈0,5;R 2 ≈0,2; R 3 ≈0,3. Belə ki, . Sağ tərəfdəki dəyər diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisidir.
Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri X onun bütün mümkün dəyərlərinin məhsullarının və bu dəyərlərin ehtimallarının cəmidir.
Diskret təsadüfi dəyişən olsun X paylanma seriyası ilə verilir:
| X | X 1 | X 2 | … | X n |
| R | R 1 | R 2 | … | R n |
Sonra riyazi gözlənti M(X) diskret təsadüfi kəmiyyət aşağıdakı düsturla müəyyən edilir:
Diskret təsadüfi dəyişən sonsuz hesablana bilən dəyərlər toplusunu qəbul edərsə, riyazi gözlənti düsturla ifadə edilir:
,
Üstəlik, bərabərliyin sağ tərəfindəki sıra mütləq birləşərsə, riyazi gözlənti mövcuddur.
Misal 6.2 . Qazanmanın riyazi gözləntisini tapın X nümunə 5.1 şərtləri altında.
Həll . Xatırladaq ki, paylama seriyası X aşağıdakı formaya malikdir:
| X | |||
| R | 0,7 | 0,2 | 0,1 |
alırıq M(X)=0∙0,7+10∙0,2+50∙0,1=7. Aydındır ki, 7 rubl bu lotereyada bilet üçün ədalətli qiymətdir, müxtəlif xərclər olmadan, məsələn, biletlərin paylanması və ya istehsalı ilə bağlıdır. ■
Misal 6.3 . Təsadüfi dəyişən olsun X bəzi hadisənin baş vermə sayıdır A bir testdə. Bu hadisənin baş vermə ehtimalı R. Tapın M(X).
Həll. Aydındır ki, təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri: X 1 =0 – hadisə A görünmədi və X 2 =1 – hadisə A meydana çıxdı. Dağıtım seriyası belə görünür:
| X | ||
| R | 1−R | R |
Sonra M(X) = 0∙(1−R)+1∙R= R. ■
Deməli, bir sınaqda hadisənin baş vermə sayının riyazi gözləntiləri bu hadisənin baş vermə ehtimalına bərabərdir.
Paraqrafın əvvəlində riyazi gözlənti ilə təsadüfi dəyişənin orta qiyməti arasındakı əlaqənin göstərildiyi xüsusi bir problem verilmişdir. Bunu ümumi şəkildə izah edək.
Qoy istehsal olunsun k təsadüfi dəyişənin olduğu testlər X qəbul edildi k 1 dəfə dəyəri X 1 ; k 2 qat dəyər X 2 və s. və nəhayət k n dəfə dəyəri xn. Aydındır ki k 1 +k 2 +…+k n = k. Bütün bu dəyərlərin arifmetik ortasını tapaq, bizdə var
Qeyd edək ki, kəsr bir dəyərin meydana gəlməsinin nisbi tezliyidir x i V k testlər. Çox sayda test ilə nisbi tezlik təxminən ehtimala bərabərdir, yəni. . Bundan belə çıxır
.
Beləliklə, riyazi gözlənti təsadüfi dəyişənin müşahidə dəyərlərinin arifmetik ortasına təxminən bərabərdir və testlərin sayı nə qədər dəqiq olarsa - bu riyazi gözləmənin ehtimal mənası.
Gözlənilən dəyər bəzən adlanır Mərkəz təsadüfi dəyişənin paylanması, çünki təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin ədədi oxda onun riyazi gözləntisinin solunda və sağında yerləşdiyi aydındır.
İndi fasiləsiz təsadüfi dəyişən üçün riyazi gözləmə anlayışına keçək.