Primitivno. Neodređeni integral

klasa: 11

Prezentacija za lekciju

Nazad napred

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati puni obim prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Tehnološka mapa časa algebre 11. razred.

“Čovjek može prepoznati svoje sposobnosti samo ako ih pokuša primijeniti.”
Seneka Mlađi.

Broj sati po sekciji: 10 sati.

Blok tema: Antiderivativni i neodređeni integral.

Vodeća tema lekcije: formiranje znanja i opšteobrazovnih veština kroz sistem tipičnih, približnih i višestepenih zadataka.

Ciljevi lekcije:

Obrazovni: formirati i konsolidovati koncept antiderivacije, pronaći antiderivativne funkcije različitih nivoa.
u razvoju: razvijati mentalnu aktivnost učenika, na osnovu operacija analize, poređenja, generalizacije, sistematizacije.
edukativni: formirati svjetonazorske poglede učenika, vaspitavati od odgovornosti za rezultat, osjećaj uspjeha.

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Nastavne metode: verbalno, verbalno-vizuelno, problematično, heurističko.

Oblici studija: pojedinac, par, grupa, opšti razred.

Sredstva obrazovanja: informacija, kompjuter, epigraf, materijal.

Očekivani ishodi učenja: student mora

definicija derivata
antiderivat se definiše dvosmisleno.

pronaći antiderivativne funkcije u najjednostavnijim slučajevima
provjeriti da li je antiderivat za funkciju u datom vremenskom intervalu.

STRUKTURA ČASA:

Postavljanje cilja lekcije (2 min)
Priprema za učenje novih materijala (3 min)
Upoznavanje sa novim materijalom (25 min)
Početno razmišljanje i primjena naučenog (10 min)
Postavljanje domaće zadaće (2 min)
Sumiranje lekcije (3 min)
Rezervni zadaci.

Tokom nastave

1. Poruka teme, svrha časa, zadaci i motivacija obrazovnih aktivnosti.

Na tabli za pisanje:

*** Derivat - “proizvodi” novu funkciju. Primitivno - primarna slika.

2. Aktuelizacija znanja, sistematizacija znanja u poređenju.

Diferencijacija-nalaženje derivacije.

Integracija je obnavljanje funkcije datom derivacijom.

Uvod u nove likove:

* usmene vježbe: umjesto bodova staviti neku funkciju koja zadovoljava jednakost (vidi prezentaciju) -individualni rad.

(u ovom trenutku 1 učenik zapisuje formule diferencijacije na tabli, 2 učenika - pravila diferencijacije).

samoprovjeru obavljaju studenti (samostalni rad)
ažuriranje znanja učenika.

3. Učenje novog gradiva.

A) Recipročne operacije u matematici.

Nastavnik: u matematici postoje 2 međusobno inverzne operacije u matematici. Hajde da pogledamo poređenje.

B) Recipročne operacije u fizici.

U odeljku o mehanici razmatraju se dva međusobno inverzna problema. Određivanje brzine prema datoj jednadžbi kretanja materijalne tačke (nalaženje derivacije funkcije) i pronalaženje jednačine za putanju kretanja po poznatoj formuli za brzinu.

Primjer 1 strana 140 - rad sa udžbenikom (samostalni rad).

Proces nalaženja izvoda u odnosu na datu funkciju naziva se diferencijacija, a inverzna operacija, odnosno proces nalaženja funkcije u odnosu na datu derivaciju, naziva se integracija.

C) Uvodi se definicija antiderivata.

Učitelj: Da bi zadatak postao konkretniji, moramo popraviti početnu situaciju.

Zadaci za formiranje sposobnosti pronalaženja primitivnog - rad u grupama. (vidi prezentaciju)

Zadaci za formiranje sposobnosti dokazivanja da je antiderivat za funkciju na datom intervalu - rad u paru. (vidi prezentaciju)

4. Primarno razumijevanje i primjena naučenog.

Primjeri sa rješenjima "Pronađi grešku" - samostalni rad (Pogledajte prezentaciju)

***izvršite unakrsnu provjeru.

Zaključak: pri obavljanju ovih zadataka lako je uočiti da je antideritiv određen dvosmisleno.

5. Postavljanje domaće zadaće

Pročitajte tekst objašnjenja poglavlja 4 stav 20, zapamtite definiciju 1. primitiv, riješite br. 20.1 -20.5 (c, d) - obavezan zadatak za sve br. 20.6 (b), 20.7 (c, d), 20.8 ( b), 20.9 (b) - 4 primjera izbora.

6. Sumiranje lekcije.

Tokom frontalnog istraživanja, zajedno sa učenicima, sumiraju se rezultati časa, svjesno razumijevanje koncepta novog materijala može biti u obliku emotikona.

Sve razumeo, sve uspeo.

Delimično nije razumeo (a), nije uspeo da uradi sve.

7. Rezervni zadaci.

U slučaju prijevremenog ispunjavanja od strane cijelog razreda gore predloženih zadataka, radi osiguranja zapošljavanja i razvoja najspremnijih učenika, planirano je i korištenje zadataka br. 20.6 (a), 20.7 (a), 20.9 (a)

književnost:

A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, Algebra analize, nivo profila, deo 1, deo 2 problemska knjiga, Manvelov S. G. "Osnove kreativnog razvoja lekcija."

OTVORENA LEKCIJA NA TEMU

« OPŠTI I NEODREĐENI INTEGRAL.

SVOJSTVA NEODREĐENOG INTEGRALA”.

11a razred sa detaljnim izučavanjem matematike

Prezentacija problema.

Tehnologije učenja za traženje problema.

PRIMARNI I NEODREĐENI INTEGRAL.

SVOJSTVA NEODREĐENOG INTEGRALA.

CILJ ČASA:

Aktivirajte mentalnu aktivnost;

Doprinijeti asimilaciji istraživačkih metoda

Omogućite jače iskustvo učenja.

CILJEVI ČASA:

uvesti koncept antiderivata;

dokazati teoremu o skupu antiderivata za datu funkciju (koristeći definiciju antiderivata);

uvesti definiciju neodređenog integrala;

dokazati svojstva neodređenog integrala;

razvijati vještine korištenja svojstava neodređenog integrala.

PRETHODNI RADOVI:

ponoviti pravila i formule diferencijacije

koncept diferencijala.

TOKOM NASTAVE

Predlaže se rješavanje problema. Problemi su napisani na tabli.

Učenici daju odgovore za rješavanje zadataka 1, 2.

(Ažuriranje iskustva rješavanja problema na korištenje diferencijala

citiranje).

1. Zakon gibanja tijela S(t) , pronađite njegov trenutni

brzina u bilo kom trenutku.

2. Znajući da je količina struje koja teče

kroz provodnik izražava se formulom q (t) = 3t - 2 t,

izvesti formulu za izračunavanje jačine struje u bilo kojem

tačka u vremenu t.

I (t) = 6t - 2.

3 . Poznavanje brzine tijela koje se kreće u svakom trenutku vremena

mene, da pronađem zakon njenog kretanja.

Znajući da je jačina struje koja prolazi kroz provodnik u bilo kojoj

bojna tačka u vremenu I (t) = 6t - 2 , izvedite formulu za

određivanje količine električne energije koja prolazi

preko provodnika.

Učitelj: Da li je moguće riješiti zadatke broj 3 i 4 koristeći

sredstva koja imamo?

(Kreiranje problematične situacije).

Pogađanja učenika:

Za rješavanje ovog problema potrebno je uvesti operaciju

suprotno od diferencijacije.

Operacija diferencijacije se uspoređuje sa datom

funkcija F (x) njen izvod.

Učitelj: Šta je zadatak diferencijacije?

Zaključak učenika:

Na osnovu date funkcije f (x), pronađite takvu funkciju

F (x) čiji je izvod f (x) , tj.

Ova operacija se tačnije zove integracija

neodređena integracija.

Dio matematike koji proučava svojstva operacije integrirajućih funkcija i njene primjene na rješavanje problema u fizici i geometriji naziva se integralni račun.

Integralni račun je dio matematičke analize, zajedno sa diferencijalnim računom čini osnovu aparata matematičke analize.

Integralni račun je proizašao iz razmatranja velikog broja problema prirodnih nauka i matematike. Najvažniji od njih je fizički problem određivanja udaljenosti prijeđenog u datom vremenu uz poznatu, ali možda promjenjivu brzinu kretanja, i mnogo stariji problem - izračunavanje površina i volumena geometrijskih figura.

Kolika je neizvjesnost ove inverzne operacije ostaje da se vidi.

Hajde da uvedemo definiciju. (ukratko simbolično napisano

Na stolu).

Definicija 1. Funkcija F (x) definirana na nekom intervalu

ke X, naziva se antiderivatom za datu funkciju

na istom intervalu ako za sve x X

jednakost

F(x) = f (x) ili d F(x) = f (x) dx .

Na primjer. (x) = 2x, ova jednakost implicira da je funkcija

x je antiderivat na cijeloj brojevnoj pravoj

za funkciju 2x.

Koristeći definiciju antiderivata, uradite vježbu

br. 2 (1,3,6) . Provjerite je li funkcija F antiderivat

noah za funkciju f, ako

1) F(x) =
2 cos 2x , f (x) = x - 4 sin 2x .

2) F(x) = tg x - cos 5x, f (x) =
+ 5 sin 5x.

3) F(x) = x sin x +
, f(x) = 4x sinx + x cosx +
.

Rješenja primjera ispisuju učenici na tabli, komentarišu

pokreću svoje postupke.

Je li funkcija x jedini antiderivat

za funkciju 2x?

Učenici daju primjere

x + 3; x - 92, itd. ,

Učenici sami donose zaključke:

Svaka funkcija ima beskonačno mnogo antiderivata.

Bilo koja funkcija oblika x + C, gdje je C neki broj,

je antiderivat od x.

Teorema o antiderivatu je zapisana u svesci pod diktatom

Teorema. Ako funkcija f ima antiderivat na intervalu

F, onda za bilo koji broj C također funkcija F + C

je antiderivat od f . Drugi primitivci

funkcija f na X ne radi.

Dokaz izvode učenici pod vodstvom nastavnika.

a) Zato što F je onda antiderivat za f na intervalu X

F(x) = f(x) za sve x X.

Tada za x X za bilo koji C imamo:

(F(x) + C) = f(x) . To znači da je i F (x) + C

antiderivat f na X.

b) Dokažimo da je za druge antiderivate na X funkcija f

nema.

Pretpostavimo da je F takođe antiderivat za f na X.

Tada je F(x) = f (x) i stoga za sve x X imamo:

F (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, dakle

F - F je konstantan na X. Neka je onda F (x) - F (x) = C

F (x) = F (x) + C, dakle bilo koji antiderivat

funkcija f na X ima oblik F + C.

Učitelj: koji je zadatak pronalaženja svih prototipova

za ovu funkciju?

Učenici dolaze do sljedećeg zaključka:

Problem pronalaženja svih antiderivata je riješen

pronalaženje jednog: ako takav a
.

Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala.

=A.

=

=
+ C.

Primjena izvedenih zaključaka u praksi, u procesu rješavanja primjera.

Koristeći svojstva neodređenog integrala, riješiti primjere br. 1 (2,3).

Izračunaj integrale.

Učenici pišu rješenja u sveske, radeći za tablom

Opis materijala: Nudim vam sažetak lekcije za srednjoškolce na temu: "Anti-derivacija i integral." Ovaj materijal će biti koristan nastavnicima pri sumiranju i sistematizaciji znanja stečenog proučavanjem ovog odjeljka i pomoći će da se proširi razumijevanje učenika o praktičnom značaju ove teme.

Tema: "Anti-derivacija i integral"

Vrstu:čas generalizacije i sistematizacije znanja.

Forma: igra

Ciljevi:

didaktički:

· formiranje obrazovnih, kognitivnih i informacionih kompetencija, putem generalizacije, sistematizacije znanja na temu „Antiprimitiv. Integral“, formiranje vještina pronalaženja površine krivolinijskog trapeza na nekoliko načina.

razvijanje:

· formiranje informacionih, opštekulturoloških kompetencija kroz razvoj kognitivne aktivnosti, interesovanja za predmet, kreativne sposobnosti učenika, širenje vidika, razvoj matematičkog govora.

edukativni:

· formiranje komunikacijske kompetencije i kompetencije ličnog samousavršavanja, kroz rad na komunikacijskim vještinama, sposobnosti za saradnju, na razvoju ličnih kvaliteta kao što su organiziranost, disciplina.

Sredstva obrazovanja:

Technical: računar, projektor, platno.

Tokom nastave

Pripremna faza: Grupa je unaprijed podijeljena u dvije ekipe.

I. Organizacioni momenat

Zdravo momci! Drago mi je da vam poželim dobrodošlicu na lekciju. Svrha naše lekcije je uopštavanje, sistematizacija znanja na temu "Anti-derivacija i integral", priprema za predstojeći test.

Moto našeg rada: "Istražite sve, neka vaš um bude na prvom mjestu" - ove riječi pripadaju starogrčkom naučniku Pitagori. (slajd)

Napravićemo neobičan uspon na vrh "Vrh znanja".

Prvenstvo će se takmičiti u dvije grupe. Svaka grupa ima svog instruktora, koji procjenjuje stopu učešća svakog "turiste" u našem usponu.

Prva grupa koja stigne na vrh vrha znanja bit će pobjednik.

Vrsta lekcije: generalizirajući.

Zadaci:

Obrazovni : sistematizovati, proširiti i produbiti znanja o zadatoj temi.
Obrazovni : promovirati razvoj sposobnosti poređenja, generalizacije, klasifikacije, analize, izvođenja zaključaka.
edukatori : podsticati učenike na samokontrolu i međusobnu kontrolu, negovati saznajnu aktivnost, samostalnost, istrajnost u postizanju cilja.

Tokom nastave

I. Organiziranje vremena

Osnovno i operativno zagrijavanje, simulator velike brzine (elementi Wasserman tehnologije)

II. Ponavljanje

Učenici u parovima ponavljaju teoriju na temu i odgovaraju jedni drugima na pitanja (Prilog 1). Tačan odgovor vrijedi jedan bod.

III. Provjera domaćeg

U parovima učenici razmjenjuju sveske i provjeravaju jedni druge. 5 djece unaprijed priprema jedan primjer na karticama za interaktivnu tablu iz domaće zadaće i komentariše svoje rješenje.

IV. Task Auction

1. Izračunajte zapreminu konusa čija je površina osnove P, a visina h.

2. Koji posao treba obaviti da bi se opruga rastegla za 25 cm.

3. Koji rad je potreban da bi se tijelo mase m uz pomoć rakete podiglo na visinu h?

4. Nađite površinu krivolinijskog trapeza omeđenog x-osom, pravim linijama x=0, x=π i grafikom funkcije y=sin x

5. Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = -x², y = 0, x = -2

V. Samostalni rad

Svaki zadatak ima četiri odgovora, od kojih je samo jedan tačan. Učenik mora staviti broj svoje opcije u poseban obrazac i precrtati broj odgovora koji je odabrao za svaki zadatak.

Nastavnik koristi šablon sa rupama (rupe su zasjenjene), nametanjem kojih se na učenikovom formularu utvrđuje ispravnost rješenja svakog od 4 zadatka.

Zadatak samostalnog rada u 4 opcije u svakoj opciji za 4 zadatka:

VI. Matematička štafeta

Timski rad. Na zadnjem stolu svakog reda nalazi se list sa 10 zadataka (po dva pitanja za svaki stol). Prvi par učenika, nakon što je uradio bilo koja dva zadatka, predaje list ispred onih koji sjede. Rad se smatra završenim kada nastavnik dobije listić sa 10 tačno urađenih zadataka. (Aneks 2)
Tim koji prvi riješi sve zadatke pobjeđuje.

VII. Iz istorije

Grupa studenata izvještava o poreklu pojmova i oznaka na temu „Antiprimitiv. Integral”, iz istorije integralnog računa, o matematičarima koji su došli do otkrića na ovu temu.

VIII. Refleksija

Šta ste naučili u ovom poglavlju?
Šta ste naučili?
šta si dobio?