Primitivo. Integral indefinida

Classe: 11

Apresentação para a aula

Para trás para a frente

Atenção! A visualização do slide é apenas para fins informativos e pode não representar toda a extensão da apresentação. Se você estiver interessado Este trabalho faça o download da versão completa.

Mapa tecnológico da aula de álgebra 11º ano.

“Uma pessoa só pode reconhecer suas habilidades tentando aplicá-las.”
Sêneca, o Jovem.

Número de horas por seção: 10 horas.

Tema do bloco: Antiderivada e integral indefinida.

Tema principal da aula: formação de conhecimentos e habilidades educacionais gerais por meio de um sistema de tarefas típicas, aproximadas e multiníveis.

Lições objetivas:

Educacional: formar e consolidar o conceito de antiderivada, encontrar funções antiderivadas de diferentes níveis.
Em desenvolvimento: desenvolver a atividade mental dos alunos, com base nas operações de análise, comparação, generalização, sistematização.
Educacional: formar a visão de mundo dos alunos, educar a partir da responsabilidade pelo resultado, uma sensação de sucesso.

Tipo de aula: aprendendo novos materiais.

Métodos de ensino: verbal, verbo-visual, problemático, heurístico.

Formas de estudo: individual, par, grupo, classe geral.

Meios de educação: informação, computador, epígrafe, apostila.

Resultados de aprendizagem esperados: aluno deve

definição de derivado
antiderivada é definida de forma ambígua.

encontrar funções antiderivadas nos casos mais simples
verificar se a primitiva para uma função em um determinado intervalo de tempo.

ESTRUTURA DA LIÇÃO:

Definir o objetivo da lição (2 min)
Preparação para aprender novos materiais (3 min)
Conhecimento do novo material (25 min)
Reflexão inicial e aplicação do que foi aprendido (10 min)
Definir o dever de casa (2 min)
Resumindo a lição (3 min)
Reservar atribuições.

Durante as aulas

1. Mensagem do tema, objetivo da aula, tarefas e motivação das atividades educativas.

No quadro de escrita:

*** Derivado - “produz” uma nova função. Primitivo - a imagem primária.

2. Actualização do conhecimento, sistematização do conhecimento em comparação.

Diferenciação-encontrando a derivada.

Integração é a restauração de uma função por uma dada derivada.

Introdução aos novos personagens:

* exercícios orais: em vez de pontos, coloque alguma função que satisfaça a igualdade.(Ver apresentação) -trabalho individual.

(neste momento, 1 aluno escreve fórmulas de diferenciação no quadro, 2 alunos - as regras de diferenciação).

auto-exame é realizado pelos alunos. (trabalho individual)
atualizar o conhecimento dos alunos.

3. Aprendendo novos materiais.

A) Operações recíprocas em matemática.

Professor: em matemática existem 2 operações mutuamente inversas em matemática. Vamos dar uma olhada na comparação.

B) Operações recíprocas em física.

Dois problemas mutuamente inversos são considerados na seção de mecânica. Encontrando a velocidade de acordo com a equação de movimento dada de um ponto material (encontrando a derivada da função) e encontrando a equação para a trajetória do movimento usando a fórmula conhecida para velocidade.

Exemplo 1 página 140 - trabalho com livro didático (trabalho individual).

O processo de encontrar a derivada em relação a uma determinada função é chamado de diferenciação, e a operação inversa, ou seja, o processo de encontrar uma função em relação a uma dada derivada, é chamada de integração.

C) Uma definição de antiderivada é introduzida.

Professora: para que a tarefa se torne mais específica, precisamos corrigir a situação inicial.

Tarefas para a formação da capacidade de encontrar o primitivo - trabalhar em grupos. (ver apresentação)

Tarefas para a formação da capacidade de provar que a antiderivada é para uma função em um determinado intervalo - trabalho de pares. (ver apresentação)

4. Compreensão primária e aplicação do que foi aprendido.

Exemplos com soluções "Encontre um erro" - trabalho individual. (Veja a apresentação)

***realizar verificação cruzada.

Conclusão: ao realizar essas tarefas, é fácil perceber que a antiderivada é determinada de forma ambígua.

5. Definindo a lição de casa

Leia o texto explicativo capítulo 4 parágrafo 20, memorize a definição de 1. primitivo, resolva No. 20.1 -20.5 (c, d) - uma tarefa obrigatória para todos No. 20.6 (b), 20.7 (c, d), 20.8 ( b), 20,9 (b) - 4 exemplos de escolha.

6. Resumindo a lição.

Durante o levantamento frontal, junto com os alunos, os resultados da aula são resumidos, uma compreensão consciente do conceito de novo material pode ser na forma de emoticons.

Compreendia tudo, administrava tudo.

Parcialmente não entendeu (a), não conseguiu fazer tudo.

7. Reserve tarefas.

Em caso de conclusão antecipada por toda a turma das tarefas acima propostas, para garantir o emprego e desenvolvimento dos alunos mais preparados, está também prevista a utilização das tarefas n.º 20.6 (a), 20.7 (a), 20.9 (a)

Literatura:

A.G. Mordkovitch, P. V. Semenov, Álgebra de análise, nível de perfil, parte 1, parte 2 livro de problemas, Manvelov S. G. "Fundamentos do desenvolvimento de lições criativas".

AULA ABERTA SOBRE O ASSUNTO

« INTEGRAL GERAL E INDETERMINADA.

PROPRIEDADES DO INTEGRAL INDETERMINADO”.

11a aula com estudo aprofundado de matemática

Apresentação do problema.

Tecnologias de aprendizagem de pesquisa de problemas.

INTEGRAL PRIMÁRIA E INDETERMINADA.

PROPRIEDADES DO INTEGRAL INDETERMINADO.

O OBJETIVO DA LIÇÃO:

Ative a atividade mental;

Contribuir para a assimilação de métodos de pesquisa

Proporcionar uma experiência de aprendizagem mais forte.

LIÇÕES OBJETIVAS:

introduzir o conceito de antiderivada;

provar o teorema sobre o conjunto de antiderivadas para uma dada função (usando a definição de uma antiderivada);

introduzir a definição de integral indefinida;

provar as propriedades da integral indefinida;

desenvolver as habilidades de usar as propriedades da integral indefinida.

TRABALHO PRELIMINAR:

repita as regras e fórmulas de diferenciação

conceito de diferencial.

DURANTE AS AULAS

É proposto para resolver problemas. Os problemas são escritos no quadro.

Os alunos dão respostas para resolver os problemas 1, 2.

(Atualizando a experiência de resolução de problemas no uso de diferenciais

citando).

1. A lei do movimento do corpo S(t), encontre seu instante

velocidade a qualquer momento.

2. Sabendo que a quantidade de eletricidade que flui

através do condutor é expressa pela fórmula q (t) = 3t - 2t,

derivar uma fórmula para calcular a força atual em qualquer

ponto no tempo t.

I(t) = 6t - 2.

3 . Conhecendo a velocidade de um corpo em movimento em cada instante de tempo

mim, para encontrar a lei de seu movimento.

Sabendo que a intensidade da corrente que passa pelo condutor em qualquer

ponto de batalha no tempo I (t) = 6t - 2 , deduza uma fórmula para

determinar a quantidade de eletricidade que passa

através do condutor.

Professor: É possível resolver os problemas número 3 e 4 usando

os fundos que temos?

(Criando uma situação-problema).

O aluno adivinha:

Para resolver este problema, é necessário introduzir uma operação

o oposto da diferenciação.

A operação de diferenciação se compara a um dado

função F (x) sua derivada.

Professor: Qual é a tarefa da diferenciação?

Conclusão dos alunos:

Com base na função dada f (x), encontre tal função

F (x) cuja derivada é f (x), i.e.

Essa operação é chamada de integração, mais precisamente

integração indefinida.

A seção da matemática que estuda as propriedades da operação de funções integradoras e suas aplicações para resolver problemas em física e geometria é chamada de cálculo integral.

Cálculo integral _ é uma seção analise matemática, juntamente com o cálculo diferencial, forma a base do aparato da análise matemática.

O cálculo integral surgiu da consideração de um grande número de problemas em ciências naturais e matemáticas. O mais importante deles é o problema físico de determinar a distância percorrida em um determinado tempo ao longo de uma velocidade de movimento conhecida, mas talvez variável, e um problema muito mais antigo - calcular as áreas e volumes de figuras geométricas.

Resta saber qual é a incerteza desta operação inversa.

Vamos introduzir uma definição. (brevemente escrito simbolicamente

Na mesa).

Definição 1. A função F (x) definida em algum intervalo

ke X, é chamado de antiderivada para a função dada

no mesmo intervalo se para todo x X

igualdade

F(x) = f (x) ou d F(x) = f (x) dx .

Por exemplo. (x) = 2x, esta igualdade implica que a função

x é antiderivada na reta numérica inteira

para a função 2x.

Usando a definição de uma primitiva, faça o exercício

Nº 2 (1,3,6). Verifique se a função F é uma primitiva

noah para a função f, se

1) F(x) =
2 cos 2x , f (x) = x - 4 sen 2x.

2) F(x) = tg x - cos 5x, f (x) =
+ 5 sen 5x.

3) F(x) = x pecado x +
, f(x) = 4x senx + x cosx +
.

Soluções para exemplos são escritas no quadro pelos alunos, comentários

conduzindo suas ações.

A função x é a única antiderivada

para a função 2x?

Alunos dão exemplos

x + 3; x - 92, etc. ,

Os alunos tiram suas próprias conclusões:

Cada função tem infinitas primitivas.

Qualquer função da forma x + C, onde C é algum número,

é a primitiva de x.

O teorema da antiderivada é escrito em um caderno sob ditado

Teorema. Se a função f tem uma primitiva no intervalo

F, então para qualquer número C a função F + C também

é a primitiva de f. Outros primitivos

a função f em X não.

A prova é realizada pelos alunos sob a orientação de um professor.

a) Porque F é a primitiva de f no intervalo X, então

F(x) = f(x) para todos os x X.

Então para x X para qualquer C temos:

(F(x) + C) = f(x) . Isso significa que F(x) + C também é

antiderivada f em X.

b) Provemos que para outras primitivas em X a função f

não tem.

Suponha que Ф também seja uma antiderivada de f em X.

Então Ф(x) = f (x) e, portanto, para todo x X temos:

Ф (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, portanto

Ф - F é constante em X. Seja Ф (x) - F (x) = C, então

Ф (x) = F (x) + C, então qualquer antiderivada

função f em X tem a forma F + C.

Professor: qual é a tarefa de encontrar todos os protótipos

para esta função?

Os alunos chegam à seguinte conclusão:

O problema de encontrar todas as primitivas é resolvido

encontrar um: se tal
.

O fator constante pode ser retirado do sinal integral.

=A.

=

=
+ C.

Aplicação das conclusões tiradas na prática, no processo de resolução de exemplos.

Usando as propriedades da integral indefinida, resolva os exemplos nº 1 (2,3).

Calcular integrais.

Os alunos escrevem soluções em cadernos, trabalhando no quadro-negro

descrição do material: Eu ofereço a você um resumo de aula para alunos do ensino médio sobre o tema: "Antiderivada e Integral". Este material será útil para os professores, ao resumir e sistematizar o conhecimento adquirido no estudo desta seção e ajudará a expandir a compreensão dos alunos sobre o significado prático deste tópico.

Tópico: "Anti-derivada e integral"

Tipo de: lição de generalização e sistematização do conhecimento.

A forma: o jogo

Metas:

didático:

· a formação de competências educativas, cognitivas e informacionais, por meio da generalização, sistematização do conhecimento sobre o tema “Antiprimitivo. Integral”, a formação de habilidades em encontrar a área de um trapézio curvilíneo de várias maneiras.

em desenvolvimento:

· a formação de informações, competências culturais gerais através do desenvolvimento da atividade cognitiva, interesse pelo assunto, as habilidades criativas dos alunos, ampliando seus horizontes, desenvolvendo o discurso matemático.

educacional:

a formação de competência comunicativa e a competência de auto-aperfeiçoamento pessoal, através do trabalho em habilidades de comunicação, a capacidade de trabalhar em cooperação, na educação de tais qualidades pessoais como ser organizado e disciplinado.

Meios de educação:

Técnico: PC, projetor, tela.

Durante as aulas

Estágio preparatório: O grupo é dividido em duas equipes antecipadamente.

I. Momento organizacional

Olá, pessoal! Fico feliz em recebê-lo para a aula. O objetivo de nossa lição é generalizar, sistematizar o conhecimento sobre o tópico "Antiderivativo e integral", para se preparar para o próximo teste.

O lema do nosso trabalho: "Explore tudo, deixe sua mente vir primeiro" - essas palavras pertencem ao antigo cientista grego Pitágoras. (deslizar)

Faremos uma subida inusitada ao topo do "Pico do Conhecimento".

O campeonato será disputado por dois grupos. Cada grupo tem seu próprio instrutor, que avalia a taxa de participação de cada “turista” em nossa ascensão.

O primeiro grupo a chegar ao topo do Pico do Conhecimento será o vencedor.

Tipo de aula: generalizando.

Tarefas:

Educacional : sistematizar, ampliar e aprofundar o conhecimento sobre um determinado tema.
Educacional : promover o desenvolvimento da capacidade de comparar, generalizar, classificar, analisar, tirar conclusões.
educadores : incentivar os alunos a auto-controle e mútuo, para cultivar a atividade cognitiva, independência, perseverança na realização do objetivo.

Durante as aulas

EU. Organizando o tempo

Aquecimento básico e operacional, simulador de alta velocidade (elementos da tecnologia Wasserman)

II. Repetição

Os alunos em duplas repetem a teoria sobre o tema e respondem às perguntas uns dos outros (Apêndice 1). A resposta correta vale um ponto.

III. Verificando a lição de casa

Em duplas, os alunos trocam cadernos e verificam uns aos outros. 5 crianças preparam com antecedência um exemplo em cartões para um quadro interativo do dever de casa e comentam sobre sua solução.

4. Leilão de tarefas

1. Calcule o volume do cone cuja área da base é P e a altura é h.

2. Que trabalho deve ser feito para esticar a mola em 25 cm.

3. Qual é o trabalho necessário para levantar um corpo de massa m a uma altura h com a ajuda de um foguete?

4. Encontre a área de um trapézio curvilíneo limitado pelo eixo x, linhas retas x=0, x=π e o gráfico da função y=sen x

5. Calcule a área da figura delimitada por linhas: y \u003d -x², y \u003d 0, x \u003d -2

V. Trabalho independente

Cada problema tem quatro respostas, das quais apenas uma está correta. O aluno deve colocar o número de sua opção em um formulário especial e riscar o número da resposta que ele escolheu para cada tarefa.

O professor utiliza um gabarito com furos (os furos estão sombreados), impondo que no formulário do aluno estabeleça a correção da solução de cada uma das 4 tarefas.

A tarefa de trabalho independente em 4 opções em cada opção para 4 tarefas:

VI. Corrida de revezamento matemática

Trabalho em equipe. Na última carteira de cada fila há uma folha com 10 tarefas (duas questões para cada carteira). A primeira dupla de alunos, tendo completado duas tarefas quaisquer, passa a folha na frente dos que estão sentados. O trabalho é considerado concluído quando o professor recebe uma folha com 10 tarefas corretamente concluídas. (Anexo 2)
A equipe que resolver todas as tarefas primeiro vence.

VII. Da história

Um grupo de alunos atua como relatores sobre a origem de termos e designações sobre o tema “Antiprimitivo. Integral”, da história do cálculo integral, sobre matemáticos que fizeram descobertas sobre este tema.

VIII. Reflexão

O que você aprendeu neste capítulo?
O que você aprendeu?
O que você conseguiu?