Тема урока: «Первообразная и интеграл. Открытый урок по алгебре

Урок алгебры в 12 классе.

Тема урока: «Первообразная. Интеграл»

Цели:

образовательные

Обобщить и закрепить материал по данной теме: определение и свойство первообразной, таблица первообразных, правила нахождения первообразных, понятие интеграла, формула Ньютона -Лейбница,вычисление площадей фигур. Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень, способствовать развитию умения анализировать, сравнивать, делать выводы.

Развивающие

выполнять задания повышенной сложности, развивать обще учебные навыки и учить мыслить и выполнять контроль и самоконтроль

Воспитывающие

Воспитывать, положительное отношение к учебе, к математике

Тип урока: Обобщение и систематизация знаний

Формы работы: групповая, индивидуальная, дифференцированная

Оборудование: карточки для самостоятельной работы, для дифференцированной работы, лист самоконтроля, проектор.

Ход урока

Организационный момент

Цели и задачи урока: Обобщить и закрепить материал по теме «Первообразная. Интеграл» - определение и свойство первообразной, таблица первообразных, правила нахождения первообразных, понятие интеграла, формула Ньютона -Лейбница,вычисление площадей фигур. Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень, способствовать развитию умения анализировать, сравнивать, делать выводы.

Урок проведем в форме игры.

Правила:

Урок состоит из 6 этапов. Каждый этап оценивается определенным количеством баллов. В оценочном листе выставляете баллы за свою работу на всех этапах.

1 этап. Теоретический. Математический диктант «Крестики –нолики».

2 этап. Практический. Самостоятельная работа. Найти множество всех первообразных.

3 этап. «Ум - хорошо, а 2 - лучше». Работа в тетрадях и 2 ученика на отворотах доски. Найти первообразную функции график которой проходит через точку А).

4.этап. «Исправь ошибки».

5. этап. «Составь слово» Вычисление интегралов.

6. этап. «Спешите видеть». Вычисление площадей фигур,ограниченных линиями.

2. Оценочный лист.

Математический

диктант

Самостоятельная работа

Устный ответ

Исправь ошибки

Составь слово

Спешите видеть

9баллов

5+1баллов

1балл

5баллов

20баллов

3мин.

5мин.

6 мин

2. Актуализация знаний:

этап. Теоретический. Математический диктант «Крестики – нолики»

Если утверждение верно - Х, если неверно-0

Функция F (x ) называется первообразной на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство

Первообразная степенной функции всегда степенная функция

Первообразная сложной функции

Это формула Ньютона-Лейбница

Площадь криволинейной трапеции

Первообразная суммы функций = сумме первообразных, рассматриваемых на заданном промежутке

Графики первообразных функций получены параллельным переносом вдоль оси Х на постоянную С.

Произведение числа на функцию равно произведению этого числа на первообразную данной функции.

Множество всех первообразных имеет вид

Устный ответ-1 балл

Всего 9 баллов

3. Закрепление и обобщение

2 этап . Самостоятельная работа.

«Примеры учат лучше, чем теория».

Исаак Ньютон

Найти множество всех первообразных:

1 вариант

Множество всех первообразных Множество всех первообразных

вариант

Множество всех первообразных Множество всех первообразных

Самопроверка.

За верно выполненные задания

1 вариант -5 баллов,

за 2 вариант +1 балл

За дополнение 1 балл.

этап . « Ум хорошо, а - 2 лучше».

Работа на отворотах доски двух учеников и все остальные в тетрадях.

Задание

1 вариант. Найти первообразную функции, график, которой проходит через точку А(3;2)

2 вариант. Найти первообразную функции, график которой проходит через начало координат.

Взаимопроверка.

За правильное решение -5 баллов.

этап . Хочешь, верь - хочешь, проверь.

Задание: исправить ошибки, если они допущены.

Найти упражнения с ошибкой:

Этап . Составить слово.

Вычислить интегралы

1 вариант.

вариант.

Ответ: БРАВО

Самопроверка. За верно выполненное задание – 5 баллов.

этап. «Спешите видеть».

Вычисление площадей фигур, ограниченных линиями.

Задание: построить фигуру и вычислить её площадь.

2 балла

4 балла

6 балла

Проверка индивидуально у учителя.

За верно выполненные все задания - 20 баллов

Подведение итогов:

На уроке рассмотрены основные вопросы

1. Мы недавно проходили тему «Производные некоторых элементарных функции». Например:

Производная функции f(х)=х 9 , мы знаем что f′(х)=9х 8 . Теперь мы рассмотрим пример нахождения функции, производная которой известна.

Допустим дана производная f′(х)=6х 5 . Используя знания о производной мы можем определить что это производная функции f(х)=х 6 . Функцию которую можно определить по ее производной называют первообразной.(Дать определение первообразной. (слайд 3))

Определение 1 : Функция F(x)называется первообразной для функции f(x) на отрезке , есливо всех точках этого отрезка выполняется равенство = f(x)

Пример 1 (слайд 4): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F(x)=х 5 -5х является первообразной для функции f(х)=5х 4 -5.

Доказательство: Используя определение первообразной, найдем производную функции

=( х 5 -5х)′=(х 5 )′-(5х)′=5х 4 -5.

Пример 2 (слайд 5): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F(x)= неявляется первообразной для функции f(х)= .

Доказать вместе со студентами на доске.

Мы знаем что нахождение производной называют дифференцированием . Нахождение функции по ее производной будем называть интегрированием. (Слайд 6). Целью интегрирования является нахождение всех первообразных данной функции.

Например: (слайд 7)

Основное свойство первообразной:

Теорема: Если F(x)- одна из первообразных для функцииf(х) на промежутке Х, то множество всех первообразных этой функции определяется формулой G(x)=F(x)+C, где С действительное число.

(Слайд 8) таблица первообразных

Три правила нахождения первообразных

Правило №1: Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то F+G – есть первообразная для f+g.

(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g

Правило №2: Если F – первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf.

(kF)’ = kF’ = kf

Правило №3: Если F – первообразная для f, а k и b– постоянные (), то функция

Первообразная для f(kx+b).

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачами, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей.Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении таких задач связаны с применением метода исчерпывания, предложенным ЕвдоксомКнидским. С помощью этого метода Евдокс доказал:

1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.

2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и основание.

Метод Евдоксабыл усовершенствован Архимедом и были доказаны такие вещи:

1. Вывод формулы площади круга.

2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра.

Все достижения были доказаны великими математиками с применением интегралов.

11 класс Орлова Е.В.

«Первообразная и неопределённый интеграл»

СЛАЙД 1

Цели урока:

Образовательные : сформировать и закрепить понятие первообразной, находить первообразные функции разного уровня.

Развивающая: развивать мыслительную деятельность учащихся, основанную на операциях анализа, сравнениях, обобщения, систематизации.

Воспитательная: формировать мировоззренческие взгляды учащихся, воспитывать от ответственности за полученный результат, чувство успеха.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование: компьютер, мультимедийная доска.

Ожидаемые результаты обучения: ученик должен

определение производной

первообразная определяется неоднозначно.

находить первообразные функции в простейших случаях

проверять, является ли первообразная для функции на данном промежутке времени.

Ход урока

Организационный момент СЛАЙД 2

Проверка домашнего задания

Сообщение темы, цели урока, задач и мотивации учебной деятельности.

На доске записи:

Производная –производит « на свет новую функцию».

Первообразная – «первичный образ».

4. Актуализация знаний, систематизация знаний в сравнении .

Дифференцирование-отыскание производной.

Интегрирование - по заданной производной восстановление функции.

Знакомство с новыми символами:

5.Устные упражнения: СЛАЙД 3

вместо точек поставьте какую-нибудь функцию, удовлетворяющую равенству.

выполняется самопроверка учащимися.

корректировка знаний учащихся.

5. Изучение нового материала.

А) Взаимно-обратные операции в математике.

Учитель: в математике существуют 2 взаимно-обратные операции в математике. Рассмотрим в сравнении. СЛАЙД 4

Б) Взаимно-обратные операции в физике.

Рассматриваются две взаимно-обратные задачи в разделе механике.

Нахождение скорости по заданному уравнению движения материальной точки(нахождение производной функции) и нахождение уравнения траектория движения по известной формуле скорости.

В) Вводится определение первообразной, неопределённого интеграла

СЛАЙД 5, 6

Учитель: чтобы задача стала более определенной, нам надо зафиксировать исходную ситуацию.

Г) Таблица первообразных СЛАЙД 7

Задания на формирование умения находить первообразную – работа в группах СЛАЙД 8

Задания на формирование умения доказывать, что первообразная является для функции на заданном промежутке – парная работа.

6.Физминутка СЛАЙД 9

7. Первичное осмысление и применение изученного. СЛАЙД 10

8. Постановка домашнего задания СЛАЙД 11

9. Подведение итогов урока. СЛАЙД 12

В ходе фронтального опроса вместе с учащимися подводятся итоги урока, осознанное осмысление понятие нового материала, можно виде смайликов.

Все понял(а), все успел(а).

частично не понял(а), не все успел(а).

Методическая разработка урока алгебры по теме: «Первообразная и интеграл»

Тема: «Первообразная и интеграл».

Группа: 82 (14-ТТО II -118)

Специальность: Технология продукции общественного питания.

Тип: урок обобщения и систематизации знаний .

Форма: И гра.

Цели:

д идактические:

формирование учебно-познавательной и информационной компетенций, посредством обобщения, систематизации знаний по теме «Первообразная. Интеграл», формирования навыков нахождения площади криволинейной трапеции несколькими способами.

развивающие:

формирование информационной, общекультурной компетенций через развитие познавательной активности, интереса к предмету, творческих способностей учащихся, расширение кругозора, развитие математической речи.

воспитательные:

формирование коммуникативной компетенции и компетенции личностного самосовершенствования, посредством работы над коммуникативными навыками, умением работать в сотрудничестве, над воспитанием таких личностных качеств, как организованность, дисциплинированность.

Средства обучения:

Технические: ПК, проектор, экран.

Ход урока

Подготовительный этап: группа заранее делится на две команды.

I. Организационный момент

Здравствуйте, ребята! Я рада приветствовать вас на уроке. Ц ель нашего урока - обобщить, систематизировать знания по теме «Первообразная и и нтеграл», подготовиться к предстоящему зачету.

Девиз нашей работы: «Исследуй всё, пусть для тебя на первом месте будет разум» - эти слова принадлежат древнегреческому ученому Пифагору.

Мы совершим необычное восхождение на вершину «Пика знаний».

Первенство будут оспаривать две группы. У каждой группы свой инструктор, который оценивает коэффициент участия каждого «туриста» в нашем восхождении.

Группа, которая первой достигнет вершины «Пика знаний», станет победителем.

II . Проверка домашнего задания: «Проверим рюкзаки».

Перед дальней дорогой нужно проверить насколько хорошо вы подготовились к восхождению. Проверим домашнее задание, которое было задано на предыдущем уроке:

Найти площадь фигуры ограниченной линиями:

Два человека по очереди выходят к доске кратко объясняют решение, которое они заранее заготовили на слайдах. Остальные в это время проверяют.

III . Разминка.

Принято, что человек, готовясь к соревнованию, свой день обычно начинает с зарядки, то есть с разминки.

Проведем разминку и мы.

Предлагается 9 тестовых заданий. Каждая команда по очереди выбирает вопрос, за правильные ответы получают жетоны (слайд)

Операция нахождения неопределённого интеграла от некоторой функции называется…

интегрированием;

дифференцированием;

логарифмированием;

возведением в степень;

извлечением корня.

Закончите определение:

Неопределённым интегралом от функции y = f (x ) называется:

производная функции F (x );

совокупность всех первообразных функции y = f (x );

совокупность всех производных функции y = f (x );

знак вида .

Формула Ньютона-Лейбница:

Закончите определение:

«Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке этого промежутка…»

I V . Математическая эстафета.

Теперь в путь! Подъем к «Пику знаний» будет нелегким, могут быть и завалы, и обвалы, и заносы. Но есть и привалы, где вас ждут не только задания. Чтобы продвинуться вперед, надо показать знания.

Работа в командах. На последней парте каждого ряда находится листок с 8 заданиями (по два вопроса на каждую парту). Первая пара учащихся, выполнив любые два задания, передает листок впереди сидящим. Работа считается оконченной, когда учитель получается листок с правильно выполненными 8 заданиями. Те же задания представлены на слайде. Вы можете решить не только свои задания, что проверить правильность решения членов своей команды.

Побеждает та команда, которая раньше всех решит все задания. Проверка работ осуществляется с помощью слайда. Заработанные баллы суммируются.

А теперь привал.

V . Привал.

«Счастливая случайность выпадает лишь на долю подготовленных умов» (Луи Пастер) (слайд).

Зачитываются сведения из истории интегрального исчисления (слайд).

Символ интеграла введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней

Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный.

Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся

Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.).

В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой. Однако при всей значимости результатов, полученных математиками.

XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница.

В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке.

Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и

А. Данжуа (1884 - 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.).

VI. Самое трудное восхождение.

Следующее задание предполагается выполнять в письменной форме, поэтому учащиеся работают в тетрадях.

Задача. Сколькими способами можно найти площадь фигуры, ограниченной линиями (слайд).

, , ,

У кого есть предложения? (фигура состоит из двух криволинейных трапеций и прямоугольника) (выбирайте способ решения слайд).

После обсуждения данной проблемы на слайде появляется запись:

1 способ: S =S 1 +S 2 +S 3

2 способ: S =S 1 +S ABCD -S OCD

Двое учащихся решают у доски с последующим объяснением решения, остальные учащиеся работают в тетрадях, выбрав один из способов решения (по одному человеку от команды).

Вывод (делают учащиеся): мы нашли два способа решения данной задачи, получив один и тот же результат. Обсудить какой способ проще.

VII . Последний подъем. Кроссворд (слайд)

Все очень устали, но чем ближе к цели, тем задания становятся все легче и легче.

Последний подъем. На слайде кроссворд. Ваша задача – решить его. По очереди каждая команда отгадывает понравившееся слово, записывает ответ.

VШ. Итог урока (слайд).

Тема урока: «Первообразная и интеграл» 11 класс (повторение)

Тип урока: урок оценки и коррекции знаний; повторения, обобщения, формирования знаний, умений, навыков.

Девиз урока : Не стыдно не знать, стыдно не учиться.

Цели урока:

Обучающие: повторить теоретический материал; отработать навыки нахождения первообразных, вычисления интегралов и площадей криволинейных трапеций.
Развивающие: развивать навыки самостоятельного мышления, интеллектуальные навыки (анализ, синтез, сравнение, сопоставление), внимание, память.
Воспитательные: воспитание математической культуры учащихся, повышение интереса к изучаемому материалу, осуществление подготовки к ЕНТ.

План конспект урока.

I. Организационный момент

II. Актуализация опорных знаний учащихся.

1.Устная работа с классом на повторение определений и свойств:

1. Что называется криволинейной трапецией?

2. Чему равна первообразная для функции f(х)=х2.

3. В чем заключается признак постоянства функции?

4. Что называется первообразной F(х) для функции f(х) на хI?

5. Чему равна первообразная для функции f(х)=sinx.

6. Верно ли высказывание: «Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных»?

7. В чем заключается основное свойство первообразной?

8. Чему равна первообразная для функции f(х)=.

9. Верно ли высказывание: «Первообразная произведения функций равна произведению их

Первообразных»?

10. Что называется неопределенным интегралом?

11.Что называется определенным интегралом?

12.Назовите несколько примеров применения определенного интеграла в геометрии и физике.

Ответы

1. Фигуру, ограниченную графиками функций y=f(x), у=0, х=а, х=b, называют криволинейной трапецией.

2. F(x)=x3/3+С.

3. Если F`(x0)=0 на некотором промежутке, то функция F(x) – постоянная на этом промежутке.

4. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F`(x)=f(x).

5. F(x)= - cosx+C.

6. Да, верно. Это одно из свойств первообразных.

7. Любая первообразная для функции f на заданном промежутке может быть записана в виде

F(x)+C, где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на заданном промежутке, а С –

Произвольная постоянная.

9. Нет, не верно. Нет такого свойства первообразных.

10. Если функция у=f(x) имеет на заданном промежутке первообразную у= F(x), то множество всех первообразных у= F(x)+С называют неопределенным интегралом от функции у=f(x).

11. Разность значений первообразной функции в точках b и a для функции у = f (x ) на промежутке [ a ; b ] называется определенным интегралом функции f(x) на промежутке [ a ; b ] .

12..Вычисление площади криволинейной трапеции, объемов тел и вычисление скорости тела в определенный промежуток времени.

Применение интеграла. (дополнительно записать в тетрадях)

Величины

Вычисление производной

Вычисление интеграла

s – перемещение,

А – ускорение

A(t) =

A - работа,

F – сила,

N - мощность

F(x) = A"(x)

N(t) = A"(t)

m – масса тонкого стержня,

Линейная плотность

(x) = m"(x)

q – электрический заряд,

I –сила тока

I(t) = q(t)

Q – количество теплоты

С - теплоемкость

c(t) = Q"(t)

Правила вычисления первообразных

- Если F – первообразная для f, a G - первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g.

Если F – первообразная для f, a k – постоянная, то kF есть первообразная для kf.

Если F(x) –первообразная для f(x), ak, b – постоянные, причем k0, то есть есть первообразная для f(kx+b).

^ 4) - формула Ньютона-Лейбница.

5) Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x-a,x=b и графиками непрерывных на промежутке функций и таких, что для всех x вычисляется по формуле

6) Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и двумя прямыми x = a и x = b вокруг осей Ох и Оу, вычисляются соответственно по формулам:

Найдите неопределенный интеграл: (устно)

Ответы:

III Решение заданий с классом

1. Вычислите определенный интеграл: (в тетрадях, один учащийся на доске)

Задачи по рисункам с решениями:

№ 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y= x3, y=0, x=-3, x=1.

Решение.

-∫ х3 dx + ∫ x3 dx = - (x4/4) | + (x4 /4) | = (-3)4 /4 + 1/4 = 82/4 = 20,5

№3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=x3+1, у=0, x=0

№ 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= 4 -х2, у=0,

Решение. Сначала построим график, чтобы определить пределы интегрирования. Фигура состоит из двух одинаковых кусочков. Вычисляем площадь той части, что справа от оси у, и удваиваем.

№ 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=1+2sin x, у=0, x=0, x=п/2

F(x) = x - 2cosx; S = F(п/2) - F(0) = п/2 -2cos п/2 - (0 - 2cos0) = п/2 + 2

Вычислите площадь криволинейных трапеций, ограниченных графиками известных вам линий.

3. Вычислите по рисункам площади заштрихованных фигур (самостоятельная работа в парах)

Задание: Вычислите площадь заштрихованной фигуры

III Итоги урока.

а) рефлексия: -Какие выводы от урока вы сделали для себя?

Есть ли каждому над чем поработать самостоятельно?

Полезен ли был для вас урок?

б) анализ работы учащихся

в) Дома: повторить, свойства все формулы первообразных, формулы нахождения площади криволинейной трапеции, объемов тел вращения. № 136 (Шыныбеков)