Первообразная. Неопределённый интеграл

Класс: 11

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Технологическая карта урока алгебры 11 класс.

«Свои способности человек может узнать, только попытавшись приложить их».
Сенека Младший .

Количество часов по разделу: 10 часов.

Тема блока: Первообразная и неопределенный интеграл.

Ведущая тема урока: формирование знаний и обще учебных умений через систему типовых, приближенных и разно - уровненных заданий.

Цели урока:

• Образовательные : сформировать и закрепить понятие первообразной, находить первообразные функции разного уровня.
• Развивающая: развивать мыслительную деятельность учащихся, основанную на операциях анализа, сравнениях, обобщения, систематизации.
• Воспитательная: формировать мировоззренческие взгляды учащихся, воспитывать от ответственности за полученный результат, чувство успеха.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: словесный, словесно – наглядный, проблемный, эвристический.

Формы обучения: индивидуальная, парная, групповая, обще-классная.

Средства обучения: информационные, компьютерные, эпиграф, раздаточный материал.

Ожидаемые результаты обучения: ученик должен

• определение производной
• первообразная определяется неоднозначно.

• находить первообразные функции в простейших случаях
• проверять, является ли первообразная для функции на данном промежутке времени.

СТРУКТУРА УРОКА:

1. Постановка цели урока(2 мин)
2. Подготовка к изучению нового материалов(3 мин)
3. Ознакомление с новым материалом(25 мин)
4. Первичное осмысление и применение изученного (10 мин)
5. Постановка домашнего задания(2 мин)
6. Подведение итогов урока(3 мин)
7. Резервные задания.

Ход урока

1. Сообщение темы, цели урока, задач и мотивации учебной деятельности.

На доске записи:

***Производная –« производит « на свет новую функцию. Первообразная - первичный образ.

2. Актуализация знаний, систематизация знаний в сравнении.

Дифференцирование-отыскание производной.

Интегрирование - по заданной производной восстановление функции.

Знакомство с новыми символами:

* устные упражнения: вместо точек поставьте какую-нибудь функцию, удовлетворяющую равенству.(см. презентацию) –индивидуальная работа.

(в это время 1 ученик записывает на доске формулы дифференцирования, 2 ученик -правила дифференцирования).

• выполняется самопроверка учащимися.(индивидуальная работа)
• корректировка знаний учащихся.

3. Изучение нового материала.

А) Взаимно-обратные операции в математике.

Учитель: в математике существуют 2 взаимно-обратные операции в математике. Рассмотрим в сравнении.

Б) Взаимно-обратные операции в физике.

Рассматриваются две взаимно-обратные задачи в разделе механике. Нахождение скорости по заданному уравнению движения материальной точки(нахождение производной функции) и нахождение уравнения траектория движения по известной формуле скорости.

Пример 1 страница 140 – работа с учебником(индивидуальная работа).

Процесс отыскания производной по заданной функции называют дифференцированием, а обратную операцию т.е процесс отыскания функции по заданной производной- интегрированием.

В) Вводится определение первообразной.

Учитель: чтобы задача стала более определенной, нам надо зафиксировать исходную ситуацию.

Задания на формирование умения находить первообразную – работа в группах. (смотри презентацию)

Задания на формирование умения доказывать, что первообразная является для функции на заданном промежутке – парная работа. (смотри презентацию)..

4. Первичное осмысление и применение изученного.

Примеры с решениями» Найти ошибку» - индивидуальная работа.(смотри презентацию)

***выполнение взаимопроверки.

Вывод: при выполнении этих заданий легко заметить, что первообразная определяется неоднозначно.

5. Постановка домашнего задания

Прочитать объяснительный текст глава 4 параграф 20, выучить наизусть определение 1.первообразной, решить № 20.1 -20.5 (в,г)-обязательное задание для всех № 20.6 (б), 20.7 (в,г), 20.8 (б), 20.9 (б)- 4 примера по выбору.

6. Подведение итогов урока.

В ходе фронтального опроса вместе с учащимися подводятся итоги урока, осознанное осмысление понятие нового материала, можно виде смайликов.

Все понял(а), все успел(а).

Частично не понял(а), не все успел(а).

7. Резервные задания.

В случае досрочного выполнение всем классом предложенных выше заданий для обеспечения занятости и развития наиболее подготовленных учащихся планируется использовать также задачи № 20.6(а), 20.7 (а), 20.9(а)

Литература:

1. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, Алгебра анализа, профильный уровень, часть 1, часть 2 задачник, Манвелов С. Г. «Основы творческой разработки урока».

ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО ТЕМЕ

« ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА».

11 а класс с углубленным изучением математики

Проблемное изложение.

Проблемно – поисковые технологии обучения.

ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

ЦЕЛЬ УРОКА:

Активизировать мыслительную деятельность;

Способствовать усвоению способов исследова-

Обеспечить более прочное усвоение знаний.

ЗАДАЧИ УРОКА:

ввести понятие первообразной;

доказать теорему о множестве первообразных для заданной функции (применяя определение первообразной);

ввести определение неопределенного интеграла;

доказать свойства неопределенного интеграла;

отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ РАБОТА:

повторить правила и формулы дифференцирования

понятие дифференциала.

ХОД УРОКА

Предлагается решить задачи. Условия задач записаны на доске.

Учащиеся дают ответы по решению задач 1, 2.

(Актуализация опыта решения задач на использование дифферен-

цирования).

1. Закон движения тела S(t) , найти его мгновенную

скорость в любой момент времени.

2. Зная, что количество электричества, протекающего

через проводник выражается формулой q (t) = 3t - 2 t,

выведите формулу для вычисления силы тока в любой

момент времени t.

I (t) = 6t - 2.

3 . Зная скорость движущегося тела в каждый момент вре-

мени, найти закон его движения.

Зная, что сила тока проходящего через проводник в лю-

бой момент времени I (t) = 6t – 2 , выведите формулу для

определения количества электричества, проходящего

через проводник.

Учитель: Возможно ли решить задачи № 3 и 4 используя

имеющиеся у нас средства?

(Создание проблемной ситуации).

Предположения учащихся:

Для решения этой задачи необходимо ввести операцию,

обратную дифференцированию.

Операция дифференцирования сопоставляет заданной

функции F (x) ее производную.

Учитель: В чем заключается задача, дифференцированию?

Вывод учащихся:

Исходя из данной функции f (x) , найти такую функцию

F (x) производной которой является f (x) , т.е.

Такая операция называется интегрированием, точнее

неопределенным интегрированием.

Раздел математики, в котором изучаются свойства операции интегрирования функций и ее приложения к решению задач физики и геометрии, называют интегральным исчислением.

Интегральное исчисление _ это раздел математического анализа, вместе с дифференциальным исчислением, оно составляет основу аппарата математического анализа.

Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них - физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но быть может переменной скорости движения, и значительно более древняя задача – вычисления площадей и объемов геометрических фигур.

В чем состоит неопределенность этой обратной операции предстоит выяснить.

Введем определение. (кратко символически записывается

на доске).

Определение 1. Функцию F (x) , заданную на некотором промежут

ке X, называют первообразной для функции задан-

ной на том же промежутке, если для всех x X

выполняется равенство

F(x) = f (x) или d F(x) = f (x) dx .

Например. (x) = 2x, из этого равенства следует, что функция

x является первообразной на всей числовой оси

для функции 2x.

Используя определение первообразной, выполните упражнение

№ 2 (1,3,6) . Проверьте, что функция F является первообраз-

ной для функции f, если

1) F (x) =
2 cos 2x , f (x) = x - 4 sin 2x .

2) F (x) = tgх - cos 5x , f (x) =
+ 5 sin 5x.

3) F (x) = x sin x +
, f (x) = 4x sinx + x cosx +
.

Решения примеров записывают на доске учащиеся, комменти-

руя свои действия.

Является ли функция х единственной первообразной

для функции 2х?

Учащиеся приводят примеры

х + 3 ; х - 92, и т.д. ,

Вывод делают сами учащиеся:

любая функция имеет бесконечно много первообразных.

Всякая функция вида х + С, где С – некоторое число,

является первообразной функции х.

Теорема о первообразной записывается в тетради под диктовку

Теорема. Если функция f имеет на промежутке первообраз-

ную F, то для любого числа С функция F + C также

является первообразной для f . Иных первообразных

функция f на Х не имеет.

Доказательство проводят учащиеся под руководством учителя.

а) Т.к. F - первообразная для f на промежутке Х, то

F (x) = f (x) для всех х Х.

Тогда для х Х для любого С имеем:

(F (x) + C) = f (x) . Это значит, что F (x) + C - тоже

первообразная f на Х.

б) Докажем, что иных первообразных на Х функция f

не имеет.

Предположим, что Ф тоже первообразная для f на Х.

Тогда Ф(x) = f (x) и потому для всех х Х имеем:

Ф (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, следовательно

Ф - F постоянна на Х. Пусть Ф (x) – F (x) = C , тогда

Ф (x) = F (x) + C, значит любая первообразная

функции f на Х имеет вид F + C.

Учитель: в чем заключается задача отыскания всех первообраз-

ных для данной функции?

Вывод формулируют учащиеся:

Задача отыскания всех первообразных, решается

отысканием какой-нибудь одной: если такая первооб- +
.

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

= A .

=

=
+ С.

Применение сделанных выводов на практике, в процессе решения примеров.

Используя свойства неопределенного интеграла, решите примеры № 1 (2,3).

Вычислите интегралы.

.

Решения учащиеся записывают в тетрадях, работающий у доски

Описание материала : предлагаю вам конспект урока для старшеклассников по теме: «Первообразная и Интеграл». Данный материал будет полезен педагогам, при обобщении и систематизации знаний, полученных при изучении данного раздела и поможет расширить представления учащихся о практическом значении данной темы.

Тема: «Первообразная и интеграл»

Тип: урок обобщения и систематизации знаний.

Форма: игра

Цели:

дидактические:

· формирование учебно-познавательной и информационной компетенций, посредством обобщения, систематизации знаний по теме «Первообразная. Интеграл», формирования навыков нахождения площади криволинейной трапеции несколькими способами.

развивающие:

· формирование информационной, общекультурной компетенций через развитие познавательной активности, интереса к предмету, творческих способностей учащихся, расширение кругозора, развитие математической речи.

воспитательные:

· формирование коммуникативной компетенции и компетенции личностного самосовершенствования, посредством работы над коммуникативными навыками, умением работать в сотрудничестве, над воспитанием таких личностных качеств, как организованность, дисциплинированность.

Средства обучения:

Технические : ПК, проектор, экран.

Ход урока

Подготовительный этап : группа заранее делится на две команды.

I. Организационный момент

Здравствуйте, ребята! Я рада приветствовать вас на уроке. Цель нашего урока - обобщить, систематизировать знания по теме « Первообразная и интеграл», подготовиться к предстоящему зачету.

Девиз нашей работы: «Исследуй всё, пусть для тебя на первом месте будет разум» - эти слова принадлежат древнегреческому ученому Пифагору. (слайд)

Мы совершим необычное восхождение на вершину «Пика знаний».

Первенство будут оспаривать две группы. У каждой группы свой инструктор, который оценивает коэффициент участия каждого «туриста» в нашем восхождении.

Группа, которая первой достигнет вершины «Пика знаний», станет победителем.

Тип урока: обобщающий.

Задачи:

Обучающие : систематизировать, расширить и углубить знания по данной теме.
Развивающие : способствовать развитию умения сравнивать, обобщать, классифицировать, анализировать, делать выводы.
Воспитывающие : побуждать учащихся само- и взаимоконтролю, воспитывать познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели.

Ход урока

І. Организационный момент

Основная и оперативная разминки, скоростной тренажер (элементы технологии Вассермана)

ІІ. Повторение

Учащиеся в парах повторяют теорию по теме и отвечают друг другу на вопросы (приложения 1). Правильный ответ оценивается в один балл.

III. Проверка домашнего задания

Учащиеся в парах обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку. 5 ребят заранее заготавливают по одному примеру на карточках для интерактивной доски из домашнего задания и комментируют их решение.

IV. Аукцион задач

1. Вычислить обьем конуса площадь основания которого равна Р, а высота h.

2. Каую работа надо совершить для того чтобы растянуть пружину на 25 см.

3. Каую работу требуется выполнить чтобы с помощью ракеты тело массой m поднять на высоту h

4. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми х=0, х=π и графиком функции у=sin х

5. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: у=-х², у=0, х=-2

V. Самостоятельная работа

К каждой задаче даны четыре ответа, только один из которых верен. Учащийся должен в специальном бланке поставить номер своего варианта и зачеркнуть номер выбранного им ответа по каждому заданию.

Учитель использует шаблон с отверстиями (отверстия заштрихованны), накладывая который на бланке учащихся устанавливает правильность решения каждой из 4-х задач.

Задание самостоятельной работы в 4-х вариантах в каждом варианте по 4 задачи:

VI. Математическая эстафета

Работа в командах. На последней парте каждого ряда находится листок с 10 заданиями (по два вопроса на каждую парту). Первая пара учащихся, выполнив любые два задания, передает листок впереди сидящим. Работа считается оконченной, когда учитель получается листок с правильно выполненными 10 заданиями. (Приложение 2)
Побеждает та команда, которая раньше всех решит все задания.

VІI. Из истории

Группа учащихся выступают сообщениями о происхождении терминов и обозначений по теме «Первообразная. Интеграл», из истории интегрального исчисления, о математиках, сделавших открытия по данной теме.

VІІІ. Рефлексия

Что усвоили в этой главе?
Чему научились?
Что получили?