Античность

В античный период появились некоторые идеи, которые в дальнейшем привели к интегральному исчислению, но в ту эпоху эти идеи не были развиты строгим, систематическим образом. Расчёты объёмов и площадей, являющиеся одной из целей интегрального исчисления, можно найти в московском математическом папирусе из Египта (ок. 1820 до н. э.), но формулы являются скорее инструкциями, без каких-либо указаний на метод, а некоторые просто ошибочны. В эпоху греческой математики Евдокс (ок. 408-355 до н. э.) для вычисления площадей и объёмов использовал метод исчерпывания , который предвосхищает понятие предела, а позже эту идею дальше развил Архимед (ок. 287-212 до н. э.), изобретя эвристики , которые напоминают методы интегрального исчисления. Метод исчерпывания позже изобрёл в Китае Лю Хуэй в III веке нашей эры, который он использовал для вычисления площади круга. В V нашей эры Цзу Чунчжи разработал метод вычисления объёма шара, который позже назовут принципом Кавальери .

Средневековье

В XIV веке индийский математик Мадхава Сангамаграма и астрономо-математическая школа Керала ввели многие компоненты исчисления, такие как ряды Тейлора , аппроксимацию бесконечных рядов , интегральный признак сходимости , ранние формы дифференцирования, почленное интегрирование, итерационные методы для решения нелинейных уравнений и определение того, что площадь под кривой является её интегралом. Некоторые считают, что «Юктибхаза» (Yuktibhāṣā) является первым трудом по математическому анализу.

Современная эпоха

В Европе основополагающим трудом стал трактат Бонавентура Кавальери , в котором он утверждал, что объёмы и площади могут быть рассчитаны как суммы объёмов и площадей бесконечно тонкого сечения. Идеи были похожи на то, что изложил Архимед в работе «Метод», но этот трактат Архимеда был утерян до первой половины XX века. Работа Кавальери не была признана, так как его методы могли привести к ошибочным результатам, и бесконечно малым величинам он создал сомнительную репутацию.

Формальное исследование исчисления бесконечно малых, которое Кавальери соединил с исчислением конечных разностей , проводилось в Европе примерно в это же время. Пьер Ферма , утверждая, что он заимствовал это из Диофанта , ввёл понятие «квази-равенства» (англ. adequality ), которое представляло собой равенство с точностью до бесконечно малой ошибки. Большой вклад внесли также Джон Валлис , Исаак Барроу и Джеймс Грегори . Последние два около 1675 года доказали вторую фундаментальную теорему исчисления .

Основания

В математике основания относятся к строгому определению предмета, отталкиваясь от точных аксиом и определений. На начальном этапе развития исчисления использование бесконечно малых величин считалось нестрогим, оно подвергалось жёсткой критике рядом авторов, в первую очередь Мишелем Роллем и епископом Беркли . Беркли превосходно описал бесконечно малые как «призраки умерших количеств» в своей книге «The Analyst» в 1734 году. Разработка строгих основ для исчисления заняло математиков на протяжении более столетия после Ньютона и Лейбница, и до сих пор сегодня в некоторой степени является активной областью исследований.

Несколько математиков, в том числе Маклорен , пытались доказать обоснованность использования бесконечно малых, но это удалось сделать только 150 лет спустя трудами Коши и Вейерштрасса , которые наконец-то нашли средства, как уклониться от простых «мелочёвок» бесконечно малых величин, и были положены начала дифференциального и интегрального исчисления. В трудах Коши мы находим универсальный спектр основополагающих подходов, в том числе определение непрерывности в терминах бесконечно малых и (несколько неточный) прототип (ε, δ)-определения предела в определении дифференцирования. В своём труде Вейерштрасс формализует понятие предела и устраняет бесконечно малые величины. После этого труда Вейерштрасса общей основой исчисления стали пределы, а не бесконечно малые величины. Бернхард Риман использовал эти идеи, чтобы дать точное определение интеграла. Кроме того, в этот период идеи исчисления были обобщены на евклидово пространство и на комплексную плоскость .

В современной математике основы исчисления включаются в раздел вещественного анализа , который содержит полные определения и доказательства теорем исчисления. Сфера исследований исчисления стала значительно шире. Анри Лебег разработал теорию мер множества и использовал её для определения интегралов от всех функций, кроме самых экзотических. Лоран Шварц ввёл в рассмотрение обобщённые функции , которые можно использовать для вычисления производных любой функции вообще.

Введение пределов определило не единственный строгий подход к основанию исчисления. Альтернативой может быть, например, нестандартный анализ Абрахама Робинсона . Подход Робинсона, разработанный в 1960-е годы, использует технические средства из математической логики для расширения системы вещественных чисел бесконечно малыми и бесконечно большими числами, как это было в исходной концепции Ньютона-Лейбница. Эти числа, называемые гипердействительными , можно использовать в обычных правилах исчисления, подобно тому, как это делал Лейбниц.

Важность

Хотя некоторые идеи исчисления ранее были разработаны в Египте , Греции , Китае , Индии , Ираке, Персии и Японии , современное использование исчисления началось в Европе в XVII веке, когда Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц построили на базе работ предшествующих математиков его основные принципы. Развитие исчисления было основано на более ранних концепциях мгновенного движения и площади под кривой.

Дифференциальное исчисление применяется в расчётах, связанных со скоростью и ускорением , углом наклона кривой и оптимизацией . Применение интегрального исчисления включает расчёты с участием площадей , объёмов , длин дуг , центров масс , работы и давления . Более сложные приложения включают расчёты степенных рядов и рядов Фурье .

Исчисление [ ] также используется для получения более точного представления о природе пространства, времени и движения. Веками математики и философы боролись с парадоксами, связанными с делением на ноль или нахождением суммы бесконечного ряда чисел. Эти вопросы возникают при изучении движения и вычислении площадей. Древнегреческий философ Зенон Элейский дал несколько известных примеров таких парадоксов . Исчисление предоставляет инструменты для разрешения этих парадоксов, в частности, пределы и бесконечные ряды.

Пределы и бесконечно малые величины

Примечания

1. Morris Kline, Mathematical thought from ancient to modern times , Vol. I
2. Archimedes, Method , in The Works of Archimedes ISBN 978-0-521-66160-7
3. Dun, Liu; Fan, Dainian; Cohen, Robert Sonné. A comparison of Archimdes" and Liu Hui"s studies of circles (англ.) : journal. - Springer, 1966. - Vol. 130 . - P. 279 . - ISBN 0-792-33463-9 . , Chapter, p. 279
4. Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. Calculus: Early Transcendentals (неопр.) . - 3. - Jones & Bartlett Learning (англ.) русск. , 2009. - С. xxvii. - ISBN 0-763-75995-3 . , Extract of page 27
5. Indian mathematics
6. von Neumann, J., «The Mathematician», in Heywood, R. B., ed., The Works of the Mind , University of Chicago Press, 1947, pp. 180-196. Reprinted in Bródy, F., Vámos, T., eds., The Neumann Compedium , World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1995, ISBN 9810222017 , pp. 618-626.
7. André Weil: Number theory. An approach through history. From Hammurapi to Legendre. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1984, ISBN 0-8176-4565-9 , p. 28.
8. Leibniz, Gottfried Wilhelm. The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz. Cosimo, Inc., 2008. Page 228. Copy
9. Unlu, Elif Maria Gaetana Agnesi (неопр.) . Agnes Scott College (April 1995). Архивировано 5 сентября 2012 года.

Ссылки

• Ron Larson, Bruce H. Edwards (2010). «Calculus», 9th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-547-16702-2
• McQuarrie, Donald A. (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers , University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5
• James Stewart (2008). Calculus: Early Transcendentals , 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning.

1.Период создания математики переменных величин. Создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления

В XVII в. начинается новый период истории математики - период математики переменных величин. Его возникновение связано, прежде всего, с успехами астрономии и механики.

Кеплер в 1609-1619 гг. открыл и математически сформулировал законы движения планет. Галилей к 1638 г. создал механику свободного движения тел, основал теорию упругости, применил математические методы для изучения движения, для отыскания закономерностей между путем движения, его скоростью и ускорением. Ньютон к 1686 г. сформулировал закон всемирного тяготения.

Первым решительным шагом в создании математики переменных величин было появление книги Декарта «Геометрия». Основными заслугами Декарта перед математикой являются введение им переменной величины и создание аналитической геометрии. Прежде всего, его интересовала геометрия движения, и, применив к исследованию объектов алгебраические методы, он стал создателем аналитической геометрии.

Аналитическая геометрия начиналась с введения системы координат. В честь создателя прямоугольная система координат, состоящая из двух пересекающихся под прямым углом осей, введенных на них масштабов измерения и начала отсчета - точки пересечения этих осей - называется системой координат на плоскости. В совокупности с третьей осью она является прямоугольной декартовой системой координат в пространстве.

К 60-м годам XVII в. были разработаны многочисленные метолы для вычисления площадей, ограниченных различными кривыми линиями. Нужен был только один толчок, чтобы из разрозненных приемов создать единое интегральное исчисление.

Дифференциальные методы решали основную задачу: зная кривую линию, найти ее касательные. Многие задачи практики приводили к постановке обратной задачи. В процессе решения задачи выяснялось, что к ней применимы интеграционные методы. Так была установлена глубокая связь между дифференциальными и интегральными методами, что создало основу для единого исчисления. Наиболее ранней формой дифференциального и интегрального исчисления является теория флюксий, построенная Ньютоном.

Математики XVIII в. работали одновременно в области естествознания и техники. Лагранж создал основы аналитической механики. Его труд показал, как много результатов можно получить в механике благодаря мощным методам математического анализа. Монументальное произведение Лапласа «Небесная механика» подвело итоги всех предшествовавших работ в этой области.

XVIII в. дал математике мощный аппарат - анализ бесконечно малых. В этот период Эйлер ввел в математику символ f (x) для функции и показал, что функциональная зависимость является основным объектом изучения математического анализа. Разрабатывались способы вычисления частных производных, кратных и криволинейных интегралов, дифференциалов от функций многих переменных.

В XVIII в. из математического анализа выделился ряд важных математических дисциплин: теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление. В это время началась разработка теории вероятностей.

Идейные корни аналитической геометрии лежат в плодородной почве классической древнегреческой математики. Второй по своей эпохальности после гениальных евклидовых «Начал» фундаментальный трактат Апполония из Перги (ок. 260 - 170 гг. до н.э...

Аналитический метод в решении планиметрических задач

Аналитическая геометрия не имеет строго определенного содержания и определяющим для нее является не предмет исследования, а метод...

Исследование функций

Исследование функций

Ключевые понятия Локальный максимум. Локальный минимум. Локальный экстремум. Монотонность функции. 1. Локальные экстремумы функции Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х0 - внутренняя точка множества Х...

Исследование функций

Рассмотрим некоторые теоремы, которые позволят в дальнейшем проводить исследование поведения функций. Они носят названия основных теорем математического анализа или основных теорем дифференциального исчисления...

Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания

Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач в MATLab

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей...

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

при доказательстве неравенств ТЕОРЕМА 1 (Ролля).Пусть функция f:R удовлетворяет условиям: 1) fC; 2) x(a,b) существует f/(x); 3) f(a)=f(b). Тогда C(a,b): f/(C)=0. Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий 1)-3) теоремы на интервале (a...

Применение производной к решению задач

XIX век является началом нового, четвертого периода в истории математики – периода современной математики.

Мы уже знаем , что одним из главных направлений развития математики в четвертом периоде является усиление строгости доказательств во всей математике, особенно перестройка математического анализа на логической основе. Во второй половинеXVIII в. делались многократные попытки перестройки математического анализа: введение определения предела (Даламбер и др.), определение производной как предела отношения (Эйлер и др.), результаты Лагранжа и Карно и т. д., но этим работам не хватало системы, а иногда они были неудачны. Однако они готовили почву, на которой перестройка в XIX в. смогла быть осуществлена. В XIX в. это направление развития математического анализа стало ведущим. Им занялись О.Коши, Б. Больцано, К. Вейерштрасс и др.

1.Огюстен Луи Коши (1789−1857) окончил в Париже Политехническую школу и Институт путей сообщения. С 1816 г. член Парижской академии и профессор Политехнической школы. В 1830−1838 гг. в годы республики он был в эмиграции из-за своих монархистских убеждений. С 1848 г. Коши стал профессором Сорбонны – Парижского университета. Он опубликовал более 800 работ по математическому анализу, дифференциальным уравнениям, теории функций комплексной переменной, алгебре, теории чисел, геометрии, механике, оптике и др. Главными областями его научных интересов были математический анализ и теория функций комплексной переменной.

Свои лекции по анализу, прочитанные в Политехнической школе, Коши издал в трех сочинениях: «Курс анализа» (1821), «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых» (1823), «Лекция по приложениям анализа к геометрии», 2 тома (1826, 1828). в этих книгах впервые математический анализ строится на основе теории пределов. они означали начало коренной перестройки математического анализа.

Коши дает следующее определение предела переменной: « Если значения, последовательно приписываемые одной и той же переменной, неограниченно приближаются к фиксированному значению, так что в конце концов отличаются от него сколь угодно мало, то последнее называют пределом всех остальных». Суть дела здесь выражена хорошо, но слова « сколь угодно мало» сами нуждаются в определении, а кроме того, здесь формулируется определение предела переменной, а не предела функции. Далее автор доказывает различные свойства пределов.

Затем Коши приводит такое определение непрерывности функции: функция называется непрерывной (в точке), если бесконечно малое приращение аргумента порождает бесконечно малое приращение функции, т.е., на современном языке

Потом у него следуют различные свойства непрерывных функций.

В первой книге рассматривает также теорию рядов: дает определение суммы числового ряда как предела его частичной суммы, вводит ряд достаточных признаков сходимости числовых рядов, а также степенные ряды и область их сходимости – все это как в действительной, так и в комплексной области.

Дифференциальное и интегральное исчисление он излагает во второй книге.

Коши дает определение производной функции как предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, и дифференциал, как предела отношения приОтсюда следует, что. Далее рассматриваются обычные формулы производных; при этом автор часто использует теорему Лагранжа о средних значениях.

В интегральном исчислении Коши впервые выдвигает в качестве основного понятия определенный интеграл. Он вводит его также впервые, как предел интегральных сумм. Здесь же доказывается важная теорема об интегрируемости непрерывной функции. Неопределенный интеграл у него определяется как такая функцияаргументачтоКроме того, здесь рассматриваются разложения функций в ряды Тейлора и Маклорена.

Во второй половине XIX в. ряд ученых: Б. Риман, Г. Дарбу и др. нашли новые условия интегрируемости функции и даже изменили само определение определенного интеграла таким образом, чтобы его можно было применить к интегрированию некоторых разрывных функций.

В теории дифференциальных уравнений Коши занимался, главным образом, доказательствами принципиально важных теорем существования: существования решения обыкновенного дифференциального уравнения сначала первого, а потом -го порядка; существования решения для линейной системы уравнений с частными производными.

В теории функций комплексной переменной Коши является основоположником; ей посвящены многие его статьи. В XVIII в. Эйлер и Даламбер положили лишь начало этой теории. В вузовском курсе теории функций комплексной переменной мы постоянно встречаем имя Коши: условия Коши − Римана существования производной, интеграл Коши, интегральная формула Коши и т.д.; многие теоремы о вычетах функции также принадлежат Коши. В этой области получили весьма важные результаты также Б.Риман, К. Вейерштрасс, П. Лоран и др.

Вернемся к основным понятиям математического анализа. Во второй половине века выяснилось, что в области обоснования анализа многое сделал до Коши и Вейерщтрасса чешский ученый Бернард Больцано (1781 – 1848). Он до Коши дал определения предела, непрерывности функции и сходимости числового ряда, доказал критерий сходимости числовой последовательности, а также, задолго до того, как она появилась у Вейерштрасса, теорему: если числовое множество ограниченно сверху (снизу), то оно имеет точную верхнюю (точную нижнюю) грань. Он рассмотрел ряд свойств непрерывных функций; вспомним, что в вузовском курсе математического анализа имеются теоремы Больцано – Коши и Больцано – Вейерштрасса о функциях, непрерывных на отрезке. Больцано исследовал и некоторые вопросы математического анализа, например, построил первый пример функции, непрерывной на отрезке, но не имеющей производной ни в одной точке отрезка. При жизни Больцано смог опубликовать только пять небольших работ, поэтому его результаты стали известны слишком поздно.

2.В математическом анализе все явственнее чувствовалось отсутствие четкого определения функции. Значительный вклад в решение спора о том, что понимать под функцией, внес французский ученый Жан Фурье. Он занимался математической теорией теплопроводности в твердом теле и в связи с этим использовал тригонометрические ряды (ряды Фурье)

эти ряды позднее стали широко применяться в математической физике – науке, которая занимается математическими методами исследования встречающихся в физике дифференциальных уравнений в частных производных. Фурье доказал, что любую непрерывную кривую, независимо от того, из каких разнородных частей она составлена, можно задать единым аналитическим выражением – тригонометрическим рядом, и что это можно сделать и для некоторых кривых с разрывами. Исследование таких рядов, проведенное Фурье, вновь поставило вопрос, что же понимать под функцией. Можно ли считать, что подобная кривая задает функцию? (Это возобновление старого спора XVIII в о соотношении между функцией и формулой на новом уровне.)

В 1837 г. немецкий математик П. Дирехле впервые дал современное определение функции: « есть функция переменной(на отрезкеесли каждому значению(на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие – аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами». Обращает на себя внимание добавление: «безразлично, каким образом установлено это соответствие». Определение Дирехле получило общее признание довольно быстро. Правда, сейчас принято функцией называть само соответствие.

3.Современный стандарт строгости в математическом анализе впервые появился в работах Вейерштрасса (1815−1897) долгое время работал учителем математики в гимназиях, а в 1856 г. стал профессором Берлинского университета. Слушатели его лекций постепенно издавали их в виде отдельных книг, благодаря чему содержание лекций Вейерштрасса стало хорошо известным в Европе. Именно Вейерштрасс стал систематически употреблять в математическом анализе язык Он дал определение предела последовательности, определение предела функции на языке(которое часто неправильно называют определением Коши), строго доказал теоремы о пределах и так называемую теорему Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности: возрастающая (убывающая) последовательность, ограниченная сверху (снизу), имеет конечный предел. Он стал использовать понятия точной верхней и точной нижней грани числового множества, понятие предельной точки множества, доказал теорему (у которой есть и другой автор – Больцано): ограниченное числовое множество имеет предельную точку, рассмотрел некоторые свойства непрерывных функций. Много работ Вейерштрасс посвятил теории функций комплексной переменной, обосновав ее с помощью степенных рядов. Он занимался также вариационным исчислением, дифференциальной геометрией и линейной алгеброй.

4.Остановимся еще на теории бесконечных множеств. Ее создателем был немецкий математик Кантор. Георг Кантор (18451918) много лет работал профессором университета в Галле. Работы по теории множеств опубликовал, начиная с 1870г. Он доказал несчетность множества действительных чисел, установив, таким образом, существование неэквивалентных бесконечных множеств, ввел общее понятие мощности множества, выяснил принципы сравнения мощностей. Кантор построил теорию трансфинитных, «несобственных» чисел, приписав низшее, наименьшее трансфинитное число мощности счетного множества (в частности, множества натуральных чисел), мощности множества действительных чисел – более высокое, большее трансфинитное число, и т.д.; это дало ему возможность построить арифметику трансфинитных чисел, похожую на обычную арифметику натуральных чисел. Кантор систематически применял актуальную бесконечность, например, возможность полностью «исчерпать» натуральный ряд чисел, в то время как до него в математикеXIX в. использовалась лишь потенциальная бесконечность.

Теория множеств Кантора при своем появлении вызвала возражения многих математиков, но постепенно пришло признание тогда, когда стало ясным ее огромное значение для обоснования топологии и теории функций действительной переменной. Но оставались логические пробелы в самой теории, в частности, были обнаружены парадоксы теории множеств. Вот один из наиболее известных парадоксов. Обозначим через множество всех таких множеств, которые не являются элементами самих себя. Выполняется ли включениетакже и не является элементомтак как по условию ввходят в качестве элементов только такие множества, которые не являются элементами самих себя; если жето по условию выполняется включениепротиворечие в обоих случаях.

Эти парадоксы были связаны с внутренней противоречивостью некоторых множеств. Становилось ясным, что в математике можно пользоваться не любыми множествами. Существование парадоксов было преодолено созданием уже в начале XX в. аксиоматической теории множеств (Э. Цермело, а. Френкелем, Д. Нейманом и др.), которая, в частности, отвечала на вопрос: какими множествами можно пользоваться в математике? Оказывается, можно пользоваться пустым множеством, объединением данных множеств, множеством всех подмножеств данного множества и др.

История математического анализа

XVIII век часто называют веком научной революции, определившей развитие общества вплоть до наших дней. Базировалась эта революция на замечательных математических открытиях, совершённых в XVII веке и основанных в последующее столетие. «Нет ни одного объекта в материальном мире и ни одной мысли в области духа, на которых не отразилось бы влияние научной революции XVIII века. Ни один из элементов современной цивилизации не мог бы существовать без принципов механики, без аналитической геометрии и дифференциального исчисления. Нет ни одной отрасли в деятельности человека, которая не испытала бы на себе сильного влияния гения Галилея, Декарта, Ньютона и Лейбница». Эти слова французского математика Э. Бореля (1871 – 1956), произнесенные им в 1914 году, остаются актуальными и в наше время. В развитие математического анализа внесли свой вклад многие великие ученые: И.Кеплер (1571 -1630), Р.Декарт (1596 -1650), П.Ферма (1601 -1665), Б.Паскаль (1623 -1662), Х.Гюйгенс (1629 -1695), И.Барроу (1630 -1677), братья Я.Бернулли (1654 -1705) и И.Бернулли (1667 -1748) и другие.

Новшество этих знаменитостей в понимании и описании окружающего нас мира:

движение, изменение и вариативность (вошла жизнь с её динамикой и развитием);

статистические слепки и одномоментные фотографии её состояний.

Математические открытия XVII –XVII веков были определены с помощью таких понятий, как переменная, и функция, координаты, график, вектор, производная, интеграл, ряд и дифференциальное уравнение.

Паскаль, Декарт и Лейбниц были не столько математики, сколько философами. Именно общечеловеческий и философский смысл их математических открытий составляет сейчас главную ценность и является необходимым элементом общей культуры.

Как серьёзную философию, так и серьезную математику нельзя понять, не овладев соответствующим языком. Ньютон в письме к Лейбницу о решении дифференциальных уравнений излагает свой метод следующим образом: 5accdae10effh 12i…rrrssssttuu.

Основатели современной науки - Коперник, Кеплер, Галилей и Ньютон - подходили к исследованию природы как математики. Исследуя движение, математики выработали такое фундаментальное понятие, как функция, или отношение между переменными, например d = kt 2 , где d - расстояние, пройденное свободно падающим телом, а t - число секунд, которое тело находится в свободном падении. Понятие функции сразу же стало центральным в определении скорости в данный момент времени и ускорения движущегося тела. Математическая трудность этой проблемы заключалась в том, что в любой момент тело проходит нулевое расстояние за нулевой промежуток времени. Поэтому определяя значение скорости в момент времени делением пути на время, мы придем к математически бессмысленному выражению 0/0.

Задача определения и вычисления мгновенных скоростей изменения различных величин привлекала внимание почти всех математиков 17 в., включая Барроу, Ферма, Декарта и Валлиса. Предложенные ими разрозненные идеи и методы были объединены в систематический, универсально применимый формальный метод Ньютоном и Г.Лейбницем (1646-1716), создателями дифференциального исчисления. По вопросу о приоритете в разработке этого исчисления между ними велись горячие споры, причем Ньютон обвинял Лейбница в плагиате. Однако, как показали исследования историков науки, Лейбниц создал математический анализ независимо от Ньютона. В результате конфликта обмен идеями между математиками континентальной Европы и Англии на долгие годы оказался прерванным с ущербом для английской стороны. Английские математики продолжали развивать идеи анализа в геометрическом направлении, в то время как математики континентальной Европы, в том числе И.Бернулли (1667-1748), Эйлер и Лагранж достигли несравненно бульших успехов, следуя алгебраическому, или аналитическому, подходу.

Основой всего математического анализа является понятие предела. Скорость в момент времени определяется как предел, к которому стремится средняя скорость d /t , когда значение t все ближе подходит к нулю. Дифференциальное исчисление дает удобный в вычислениях общий метод нахождения скорости изменения функции f (x ) при любом значении х . Эта скорость получила название производной. Из общности записи f (x ) видно, что понятие производной применимо не только в задачах, связанных с необходимостью найти скорость или ускорение, но и по отношению к любой функциональной зависимости, например, к какому-нибудь соотношению из экономической теории. Одним из основных приложений дифференциального исчисления являются т.н. задачи на максимум и минимум; другой важный круг задач - нахождение касательной к данной кривой.

Оказалось, что с помощью производной, специально изобретенной для работ с задачами движения, можно также находить площади и объемы, ограниченные соответственно кривыми и поверхностями. Методы евклидовой геометрии не обладали должной общностью и не позволяли получать требуемые количественные результаты. Усилиями математиков 17 в. были созданы многочисленные частные методы, позволявшие находить площади фигур, ограниченных кривыми того или иного вида, и в некоторых случаях была отмечена связь этих задач с задачами на нахождение скорости изменения функций. Но, как и в случае дифференциального исчисления, именно Ньютон и Лейбниц осознали общность метода и тем самым заложили основы интегрального исчисления.

Метод Ньютона - Лейбница начинается с замены кривой, ограничивающей площадь, которую требуется определить, приближающейся к ней последовательностью ломаных, аналогично тому, как это делалось в изобретенном греками методе исчерпывания. Точная площадь равна пределу суммы площадей n прямоугольников, когда n обращается в бесконечность. Ньютон показал, что этот предел можно найти, обращая процесс нахождения скорости изменения функции. Операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием. Утверждение о том, что суммирование можно осуществить, обращая дифференцирование, называется основной теоремой математического анализа. Подобно тому, как дифференцирование применимо к гораздо более широкому классу задач, чем поиск скоростей и ускорений, интегрирование применимо к любой задаче, связанной с суммированием, например, к физическим задачам на сложение сил.