Что представляет собой математическое понятие. Open Library - открытая библиотека учебной информации

Остенсивные определения- это такие определения, вводят понятие путём демонстрации, показаобъектов, которые этим термином обозначаются.

Математика в отличие от других наук изучает окружающий нас мир с особой стороны. Любые математические объекты это результат выделения из предметов и явлений количественных и пространственных св-в и отношений. Т.о. математические объекты реально не существуют. Это идеальные понятия, они существуют лишь в мышлениях человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык. Более того, при образовании математических понятий кроме абстрагирования им приписывают такие св-ва, которыми не обладает ни один реальный предмет.

Основные матем.понятия: точка, прямая, плоскость, мн-во, число, величина, арифметическое действие.

Любое матем.понятие характеризуется термином, объёмом и содержанием.

Термин – это слово или группа слов, которыми называют элементы некоторого множества. Объём понятия – это мн-во всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином. Различают существенные и несущественные св-ва объектов. Св-во будет существенным, если оно присуще объекту, и без него объект не может существовать. Несущественные – отсутствие которых не влияет на существенные объекты.

а-понятие параллелограмм; в-понятие прямоугольник; √вс√а а родовое для в; в-видовое для а; с-понятие четырёхугольник. √а с√с

Одно и то же понятие например параллелограмм может быть родовым для понятия прямоугольник или видовым для понятия четырёхугольник.

Понятия равнобедренный треуг. И прямоугольный треуг. Не находятся в родо-видовых отношениях. Существуют отношения между понятиями как части и целого.

Например, луч это часть прямой, отрезок это часть прямой, дуга это часть окружности.

Если понятия находятся в родо-видовых отношениях, то между объёмом понятия и его содержанием существует такая связь: чем больше объём, тем меньше его содержание и наоборот.

Определение понятий – это логическая операция, раскрывающая содержание понятия. В нём указывают те существенные св-ва, которые достаточны для его распознавания. Определения делятся на явные и неявные (косвенные). Явные определения имеют форму равенства, совпадение двух понятий.

Пример: Параллелограммом наз. четырёхугольник, стороны которого попарно параллельны. а есть в; а- параллелограмм (определяемое понятие; в-четырёхугольник, стороны которого попарно параллельны (определяющее понятие; а=r+v

Определяемое понятие=родовое понятие+видовое отличие

Родо-видовое: Биссектрисой угла наз. луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам/ r-родовое понятие: луч; v-видовое понятие: выходящий из вершины угла и делящий угол пополам. В начальной школе явное определение через род и видовое отличие применяют редко. Пример: Определение четного числа, прямоугольника, квадрата, умножения.

Явные определения могут иметь и другую структуру: а) генетические определения. Треугольником наз.фигура, состоящая из 3 точек, не лежащих на одной прямой, и 3 отрезков, последовательно их соединяющих.Родовое понятие и способ построения.

б)рекуррентные (рекурсия-возврат) Арифметической прогрессией наз.числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянной для данной последовательности числом d (разность).

В начальной школе преобладают неявные определения. Неявные определения бывают контекстуальные и остенсивные. Контекстуальные определения – в этих определениях содержание новых понятий раскрывается через контекст, анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия. Пример: 2+х=5

2. Обучающимся начальных классов предложены задания:

1) Какая фигура лишняя? Ответ объясни.

План:

1. Понятие как форма мышления. Содержание и объем понятия.

2. Определение понятия, виды определений. Классификация понятий.

3. Методика изучения понятий в курсе средней школы (пропедевтика, введение, усвоение, закрепление, предупреждение ошибок).

1. Познание окружающего мира осуществляется в диалектическом единстве чувственной и рациональной форм мышления. К чувственным формам мышления относятся: ощущение, восприятие, представление. К рациональным формам мышления относятся: понятия, суждения, умозаключения. Ощущение и восприятие-первые сигналы действительности. На их основе образуются общие представления, а от них в результате сложной умственной деятельности мы переходим к понятиям.

Понятие - это форма мышления, в которой отражаются существенные признаки (свойства) объектов реального мира.

Свойство является существенным, если оно присуще этому объекту и без него оно не может существовать. Например, формальное понятие куба (различные кубы, размеры, цвета, материалы). При наблюдении их возникает восприятие объекта, следовательно, возникает представление об этих объектах в сознании. Затем, выделяя существенные признаки, формируется понятие.

Итак, понятие абстрагируется от индивидуальных черт и признаков отдельных восприятий и представлений, и является результатом обобщения восприятий и представлений очень большого количества однородных явлений и предметов.

Всякое понятие имеет две логические характеристики: содержание и объем.

Объемом понятия называется совокупность объектов, обозначаемых одним и тем же термином (названием).

Например, термин (название) - трапеция.

1) четырехугольник,

2) одна пара противолежащих сторон параллельна,

3) другая пара противолежащих сторон не параллельна,

4) сумма углов прилежащих к боковой стороне равна .

Объем понятия – все мыслимые трапеции.

Между содержанием понятия и объемом существует следующая связь: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот. Так, например, объем понятия «равнобедренный треугольник» меньше объема понятия «треугольник». А содержание первого понятия больше содержания второго, ибо равнобедренный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и особыми свойствами присущими только равнобедренным треугольникам (боковые стороны равны, углы при основании равны). Итак, если увеличить содержание, то уменьшится объем понятия.

Если объем одного понятия входит как часть в объем другого понятия, то первое понятие называют видовым, а второе родовым.

Например, ромб-это параллелограмм, у которого все стороны равны (Погорелов, 8 класс). Ромб - видовое, параллелограмм - родовое.

Квадрат-это прямоугольник, у которого все стороны равны (Погорелов, 8 класс). Квадрат - видовое, прямоугольник - родовое.

Но, квадрат-это ромб, у которого угол прямой .

То есть понятие рода и вида относительны.

Каждое понятие связано со словом-термином, которое соответствует данному понятию. В математике понятие часто обозначается символом ( ‌‌‌‌║). Термины и символы - это средства, которые служат для выражения и фиксирования математических понятий, для передачи и обработки информации о них.

2. В содержание понятия о каком-либо математическом объекте входит много различных существенных свойств этого объекта. Однако чтобы распознать объект, установить принадлежит ли он к данному понятию или нет, достаточно проверить наличие у него некоторых существенных свойств.

Определение понятия - формулировка предложения, в котором перечисляются необходимые и достаточные признаки понятия. Таким образом, содержание понятия раскрывается через определение.

Виды определений понятий.

1.Определение через ближайший род и видовое отличие .

Подчеркнем, что в качестве видового отличия всегда берется несущественный признак родового понятия, который для определяемого понятия является уже существенным.

Свойства объекта в таком определении раскрываются путем показа операций его конструирования.

Пример, треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны (Погорелов, 7 класс). Это определение подсказывает учащимся, как построить треугольник равный данному.

3.Определения - условные соглашения . Те же конструктивные определения, но основанные на некотором соглашении. Такие определения используются в школьном курсе математики при расширении понятия числа.

Например, .

4. Индуктивные (рекурсивные). Указываются некоторые базисные объекты некоторого класса и правила, позволяющие получить новые объекты этого же класса.

Например. Числовая последовательность каждый член, которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.

5. Отрицательные определения. Они не задают свойства объекта. Они выполняют как бы классификационную функцию. Например, скрещивающиеся прямые - это такие прямые, которые не принадлежат плоскости и не пересекаются .

6. Аксиоматическое определение . Определение через систему аксиом. Например, определение площади и объема.

Виды ошибок при определении понятий.

1) Определение должно быть соразмерно - в нём должно быть указано ближайшее родовое понятие к определяемому понятию (параллелограмм-это четырехугольник, параллелограмм-это многоугольник).

2) Определение не должно содержать «порочного круга» - первое определяется через второе, а второе через первое (прямой угол равен девяносто градусов, один градус-это одна девяностая прямого угла).

3) Определение должно быть достаточным. В определении должны быть указаны все признаки, позволяющие однозначно выделить объекты определяемого понятия (смежными называются углы, которые в сумме дают ).

4) Определение не должно быть избыточным, то есть в определении не должно быть указано лишних признаков определяемого понятия. Например, ромб-это параллелограмм, у которого все стороны равны (Погорелов, 8 класс). Это определение избыточно, ибо достаточно равенства двух смежных сторон.

5) Определение не должно быть тавтологией, то есть повторяющей в любой словесной форме ранее сказанное. Например, равными треугольниками называются треугольники, которые равны между собой.

Логическая структура видовых отличий.

1. Видовые отличия могут быть связаны союзом «и» - конъюнктивная структура определения.

2. Видовые отличия связаны союзом «или» - дизъюнктивная структура определения.

3. Видовые отличия связаны словами «если…., то …» - импликативная структура.

Классификация – это распределение объектов какого-либо понятия на взаимосвязанные классы (виды, типы) по наиболее существенным признакам (свойствам). Признак (свойство), по которому происходит классификация (деление) понятия на виды (классы), называется основанием классификации.

При проведении классификации необходимо соблюдать следующие правила:

1) В качестве основания классификации можно брать лишь один общий признак всех объектов данного понятия, он должен оставаться неизменным в процессе классификации.

2) Каждый объект понятия должен попасть в результате классификации в один и только один класс.

3) Классификация должна быть соразмерной, то есть объединение классов объектов составляют объем понятия (нет объекта, который не попал бы ни в один класс).

4) Классификация должна быть непрерывной, то есть в процессе классификации необходимо переходить к ближайшему (к данному) родовому понятию (виду).

В настоящее время в школьных учебниках термин классификация не употребляется, требования не указываются. Но это не значит, что учитель не классифицирует понятия. Классифицировать можно числа, функции, алгебраические выражения, геометрические преобразования, многоугольники, многогранники. Её можно оформлять в виде схемы, таблицы.

Учащихся следует подготавливать к построению классификации постоянно. На первом этапе учащимся следует предлагать готовые схемы, таблицы. На втором заполнение этих схем, таблиц. На третьем самостоятельное конструирование.

Виды классификаций:

1. Классификация по видоизмененному признаку. Например, треугольник. Основание классификации: величина внутренних углов, члены: прямоугольные, остроугольные, тупоугольные.

2. Дихотомическая классификация (dicha и tome(греч)- «сечение на две части»). Оно представляет собой деление объема классифицируемого понятия на два противоречащих друг другу видовых понятия, одно из которых обладает данным признаком, а другое не обладает им.

Например,

3. При формировании понятия следует соблюдать три этапа: введение, усвоение, закрепление.

I. Введение может осуществляться двумя путями:

а) конкретно-индуктивный-все признаки понятия рассматриваются на примерах или задачах, после чего вводится термин и определение.

б) абстрактно-дедуктивным-сразу дается определение, а потом на примерах обрабатываются признаки.

II. Усвоение.

Здесь прослеживаются две цели:

1) выучить определение.

2) Научить учащихся определять подходит ли объект под рассматриваемые понятия или нет. Этот этап осуществляется на специально составленных упражнениях.

Для реализации второй цели необходимо:

1) указывать систему необходимых и достаточных свойств объектов данного класса.

2) установить, обладает данный объект выделенными свойствами или нет.

3) заключить о принадлежности объекта к данному понятию.

III. Закрепление-решение более сложных задач, включающих рассматриваемые понятия.

Замечание 1 . Формулируя определение понятия, следует обратить внимание на то, понятен ли учащимся смысл каждого слова, используемого в определении. В первую очередь следует обращать внимание на следующие слова: «каждый», «не более» и т.д.

Замечание 2 . На этапе закрепления понятия следует предлагать задания не только на распознавание объекта, но и на отыскание следствий. Например, известно, что четырехугольник - трапеция ( и её основания). Назовите следствия, вытекающие из данных условий в силу определения трапеции.

Методика изучения математических понятий

1. Сущность понятия. Содержание и объем понятия.

2. Определение математических понятий.

3. Классификация математических понятий.

4. Методика введения новых математических понятий.

Любая наука представляет собой систему понятий, поэтому в математике, как и в других учебных предметах, уделяется значительное внимание обучению понятиям. Понятие относится к формам теоретического мышления, которое является рациональной ступенью познания.

1. Сущность понятия. Содержание и объем понятия. При помощи понятий мы выражаем общие, существенные признаки вещей и явлений объективной действительности.

Восприятием называется непосредственное чувственное отражение действительности в сознании человека.

Представлением называется запечатленный в нашем сознании образ предмета или явления, в данный момент нами не воспринимаемого.

Восприятие исчезает как только воздействие предмета на органы чувств человека кончается. Остается представление. Например, показываем куб, а потом его убираем. Мы знаем различные кубы, разного цвета и т. п., но мы от этого отвлекаемся, сохраняя общее и существенное.

Понятие абстрагируется от индивидуальных черт и признаков отдельных восприятий и представлений и является результатом обобщения восприятий и представлений очень большого количества однородных предметов и явлений, например: число, пирамида, окружность, прямая. Понятия образуются путем таких логических приемов, как анализ и синтез, абстрагирование и обобщение. Понятием будем называть мысль о предмете, выделяющую его существенные признаки.

Существенными признаками понятия называются такие признаки, каждый из которых необходим, а все вместе достаточны, чтобы отличить объекты данного рода от других объектов (например, параллелограмм).

В каждом понятии различают его содержание и объем.

Объемом понятия называется совокупность объектов, на которое распространяется данное понятие.

Например, понятие «человек». Содержание: живое существо, создает орудия производства, обладает способностью абстрактного мышления. Объем: все люди.

Понятие «тетраэдр». Содержание: многогранник, ограниченный четырьмя гранями, имеющими форму треугольников. Объем: множество всех тетраэдров.

Между объемом и содержанием понятия существует соотношение: чем больше содержание понятия, тем меньше его объем. Сокращение содержания понятия влечет за собой расширение его объема. Эту операцию называют обобщением понятия. Например, если из содержания понятия «равносторонний треугольник» изъять свойство «равенство всех сторон», то множество треугольников, удовлетворяющих новому содержанию, станет «шире» – будет содержать множество равносторонних треугольников в качестве подмножества. Расширение содержания понятия ведет к сужению его объема и называется ограничением (специализацией) понятия. Пример такой операции – переход от понятия тождественных преобразований к понятию сокращение дробей.

Если объем одного понятия входит как часть в объем другого понятия, то первое понятие называется видовым , а второе – родовым .

Понятия род и вид имеют относительный характер. Например, понятие «призма» является родовым по отношению к понятию «прямая призма», но видовым понятием по отношению к понятию «многогранник».

Круги Эйлера.

2. Определение математических понятий. Содержание понятия раскрывается с помощью определения.

Определение (дефиниция) понятия – это такая логическая операция, при помощи которой раскрывается основное содержание понятия или значение термина.

Определить понятие – это значит перечислить существенные признаки предметов, отображенных в данном понятии.

Задача перечисления признаков бывает нелегкой, но она упрощается, если опираться на понятия, ранее уже установленные. Понятие фиксируется в речи с помощью слова или словосочетания, называемого именем или термином понятия. В математике понятие часто обозначается не только именем, но и символом . Например, и другие.

Таким образом, в определении сначала указывается род, в который определяемое понятие входит как вид, а затем указывают те признаки, которые отличают этот вид от других видов ближайшего рода. Такой прием определения понятия называется определением понятия через ближайший род и видовое отличие .

Понятие = род + видовое отличие.

Типы определений

Явные Неявные

Через род и видовые

отличия Аксиоматические Описательные

(описываются системой

Явными называются определения, в которых смысл определяемого термина полностью передается через смысл определяющих терминов, т. е. явные определения содержат прямое указание на существенные признаки определяемого понятия. Определение через ближайший род и видовое отличие относится к явным.

В неявных определениях смысл определяемого термина не передается полностью определяющими терминами. Пример неявного определения – определение исходных понятий с помощью системы аксиом. Такие определения называются аксиоматическими . Примеры аксиоматических определений являются определения группы, кольца и поля и т. п. (аксиоматика Гильберта, Вейля, система аксиом Пеано для натуральных чисел).

Генетическим называется определение объекта путем указания способа его построения, образования, происхождения. Например, «усеченный конус есть тело, происходящее от вращения прямоугольной трапеции вокруг стороны, перпендикулярной к основаниям трапеции». Или определение понятия «линейный угол двугранного угла».

В индуктивном (рекуррентном) определении объект задается как функция от натурального числа ..gif" width="56" height="21"> и. Например, по индукции в математике вводится определение натурального числа.

Остенсивные определения понятий и описательные описывают объекты с помощью моделей, рассмотрения частных случаев, выделения отдельных существенных свойств, вводятся с помощью непосредственного показа, демонстрации предметов. Часто применяются в начальных классах и частично в 5-6 классах. Учитель, изображая треугольники на доске, знакомит учащихся с понятием треугольник. В средней школе преобладают вербальные определения.

Чтобы дать логически правильное определение, нужно соблюдать правила определения :

1. Определение должно быть соразмерным , то есть определяемое и определяющие понятия должны быть равны по объему. Чтобы проверить соразмерность, нужно убедиться, что определяемое понятие удовлетворяет признакам определяющего понятия и наоборот.

Например, дано определение: «Параллелограмм есть многоугольник, у которого противоположные стороны параллельны». Проверим его: «Всякий многоугольник, у которого противоположные стороны параллельны, есть параллелограмм» – это неверно. Или: «параллельными прямыми называются прямые, которые не пересекаются» (неверно, это могут быть и скрещивающиеся прямые).

2. Определение не должно содержать в себе «порочного круга ». Это означает, что нельзя строить определение таким образом, чтобы определяющим понятием было такое, которое само определяется при помощи определяемого понятия.

Например, «прямым углом называется угол, содержащий , а градусом называется 1/90 часть прямого угла». Иногда «порочный круг» принимает форму тавтологии (то же посредством того же) – употребление слова, имеющего то же самое значение.

3. Определение по возможности не должно быть отрицательным . В определение должны указываться существенные признаки предмета, а не то, чем не является предмет.

Например, «ромб – это не треугольник», «эллипс – это не окружность». В математике в некоторых случаях отрицательные определения допустимы, например, «трансцендентной функцией называется всякая неалгебраическая функция».

4. Определение должно быть четким и ясным , не допускающим двусмысленных или метаморфических выражений.

Например, «арифметика есть царица математики» – образное сравнение, а не определение, утверждение «лень – мать всех пороков», поучительно, но не определяет понятие лени.

3. Классификация математических понятий. Объем понятия раскрывается путем классификации. Классификация – это систематическое распределение некоторого множества по классам, возникающее в результате последовательного деления, основанного на сходстве объектов одного вида и отличии их от объектов других видов.

Операция деления – логическая операция, раскрывающая объем понятия путем выделения в нем возможных видов объекта. Например, всех студентов педагогического университета можно разделить на собирающихся идти работать в школу и не собирающихся. Основанием деления является свойство, в соответствии с которым выделяются виды. В нашем примере основанием является свойство: «иметь намерение работать в школе».

При осуществлении классификации важен выбор основания: разные основания дают разные классификации. Классификация может производиться по существенным свойствам (естественная) и по несущественным (вспомогательная). При естественной классификации, зная к какой группе принадлежит элемент, можем судить о его свойствах.

Два вида деления:

1. деление по видоизменению признака – это деление, при котором свойство – основание деления присуще объектам выделенных видов в разной степени

2. дихотомическое деление – это деление, при котором данное понятие делится на два вида по наличию или отсутствию некоторого свойства.

Операция деления подчиняется следующим правилам:

1. деление должно быть соразмерным, т. е. объединение выделенных классов должно образовывать исходное множество (сумма объемов видовых понятий равна объему родового понятия).

2. деление должно проводится только по одному основанию.

3. пересечение классов должно быть пусто.

4. деление должно быть непрерывным.

4. Методика введения новых математических понятий. В методике преподавания математики выделяются два метода введения понятий: конкретно-индуктивный и абстрактно-дедуктивный (термины введены русским методистом).

Схема применения конкретно-индуктивного метода.

1. Рассматриваются и анализируются примеры (анализ, сравнение, абстрагирование, обобщение,…).

2. Выясняются общие признаки понятия, которые его характеризуют.

3. Формулируется определение.

4. Определение закрепляется путем приведения примеров и контрпримеров.

Схема применения абстрактно-дедуктивного метода.

Формулируется определение понятия. Приводятся примеры и контрпримеры. Закрепляется понятие путем выполнения различных упражнений.

Например, введение квадратного уравнения, понятия декартовых координат и т. п.

При формировании понятий целесообразно применять рекомендации психолого-педагогических наук, например, теорию поэтапного формирования умственных действий.

1 этап. Разъясняют цель вводимого понятия, дают ориентировку.

2 этап. Учащиеся формулируют определение исходя из рисунка.

3 этап. Учащиеся формулируют определение, пользуясь громкой (внешней) речью без опоры на рисунок.

4 этап. Определение проговаривается в форме внешней речи про себя.

5 этап. Определение проговаривается в форме внутренней речи.

При изучении понятий надо варьировать несущественные признаки (принципы варьирования) – это разнообразное расположение на доске рисунков и чертежей, например, треугольника, его высоты, перпендикуляра к прямой и т. д. (не только горизонтальное расположение прямой, основания треугольника и т. п.)

Усвоению определений помогает анализ логической структуры определения. С этой целью составляются алгоритмы распознавания понятий, математические диктанты и тесты.

Среди умений, которым учит математика и которым всем вам нужно учиться, большое значение имеет умение классифицировать понятия.

Дело в том, что математика, как и многие другие науки, изучает не единичные предметы или явления, а массовые . Так, когда вы изучаете треугольники, то изучаете свойства любых треугольников, а их бесконечное множество. Вообще объем любого математического понятия, как правило, бесконечен.

Для того чтобы различать объекты математических понятий, изучить их свойства, обычно эти понятия делят на виды, классы. Ведь, кроме общих свойств, любое математическое понятие обладает еще многими важными свойствами, присущими не всем объектам этого понятия, а лишь объектам некоторого вида. Так, прямоугольные треугольники, кроме общих свойств любых треугольников, обладают многими свойствами, весьма важными для практики, например теоремой Пифагора, соотношениями между углами и сторонами и т. д.

В процессе многовекового изучения математических понятий, в процессе их многочисленных применений в жизни, в других науках из их объема были выделены какие-то особые виды, имеющие наиболее интересные свойства, которые чаще всего встречаются и применяются в практике. Так, различных четырехугольников существует бесконечно много, но в практике, в технике наибольшее применение имеют лишь определенные их виды: квадраты, прямоугольники, параллелограммы, ромбы, трапеции.

Деление объема некоторого понятия на части и есть классификация этого понятия. Более точно под классификацией понимают распределение объектов какого-либо понятия на взаимосвязанные классы (виды, типы) по наиболее существенным признакам (свойствам). Признак (свойство), по которому про-изводится классификация (деление) понятия на виды (классы), называется основанием классификации.

Правильно построенная классификация понятия отражает наиболее существенные свойства и связи между объектами понятия, помогает лучше ориентироваться в множестве этих объектов, дает возможность устанавливать такие свойства этих объектов, которые наиболее важны для применения этого понятия в других науках и житейской практике.

Классификация понятия производится по одному или нескольким наиболее существенным основаниям.

Так, треугольники можно классифицировать по величине углов. Получаем такие виды: остроугольные (все углы острые), прямоугольные (один угол прямой, остальные острые), тупо-угольные (один угол тупой, остальные острые). Если же за основание деления треугольников принять соотношения между сторонами, то получаем такие виды: разносторонние, равнобедренные и правильные (равносторонние).

Сложнее, когда приходится классифицировать понятие по нескольким основаниям. Так, если выпуклые четырехугольники классифицировать по параллельности сторон, то по существу нам нужно разделить все выпуклые четырехугольники одновременно по двум признакам: 1) одна пара противоположных сторон параллельна или нет; 2) вторая пара противоположных сторон параллельна или нет. Получаем в результате три вида выпуклых четырехугольников: 1) четырехугольники с не параллельными сторонами; 2) четырехугольники с одной парой параллельных сторон - трапеции; 3) четырехугольники с двумя парами параллельных сторон - параллелограммы.

Весьма часто производят классификацию понятия поэтапно: сначала по одному основанию, затем некоторые виды делят на подвиды по другому основанию и т. д. Примером может служить классификация четырехугольников. На первом этапе их делят по признаку выпуклости. Затем выпуклые четырехугольники делят по признаку параллельности противоположных, сторон. В свою очередь параллелограммы делят по признаку наличия прямых углов и т. д.

При проведении классификации необходимо соблюдать определенные правила. Укажем главные из них.

1. В качестве основания классификации можно брать лишь общий признак всех объектов данного понятия. Так, например, нельзя в качестве основания классификации алгебраических выражений брать признак расположения членов по степеням какой-то переменной. Этот признак не является общим для всех алгебраических выражений, например для дробных выражений или одночленов он не имеет смысла. Этим признаком обладают лишь многочлены, поэтому многочлены можно классифицировать по наивысшей степени главной переменной.
2. Основанием для классификации надо брать существенные свойства (признаки) понятий. Рассмотрим опять понятие алгебраического выражения. Одним из свойств этого понятия является то, что переменные, входящие в алгебраическое выражение, обозначаются какими-то буквами. Это свойство является общим, но не является существенным, ибо от того, какой буквой обозначена та или иная переменная, характер выражения не зависит. Так, алгебраические выражения х+у и а+b - это по сути дела одно и то же выражение. Поэтому классифицировать выражения по признаку обозначения переменных буквами не следует. Другое дело, если за основание классификации алгебраических выражений взять признак вида действий, с помощью которых переменные соединены, т. е. действия, которые совершаются над переменными. Этот общий признак весьма существенный, и классификация по этому признаку будет правильной и полезной.
3. На каждом этапе классификации можно применять лишь одно какое-то основание. Нельзя одновременно классифицировать понятие по двум различным признакам. Например, нельзя классифицировать треугольники сразу и по величине и по соотношению между сторонами, ибо в результате мы получим классы треугольников, которые имеют общие элементы (например, остроугольные и равнобедренные или тупоугольные и равнобедренные и т. д.). Здесь нарушено следующее требование к классификации: в результате классификации на каждом этапе получаемые классы (виды) не должны пересекаться.
4. В то же время классификация по какому-либо основанию должна быть исчерпывающей и каждый объект понятия должен попасть в результате классификации в один и только один класс.

Поэтому разделение всех целых чисел на положительные и отрицательные неверно, ибо целое число нуль при этом не попало ни в один из классов. Надо говорить так: целые числа делятся на три класса - положительные, отрицательные и число нуль.

Часто при классификации понятий явно выделяются лишь некоторые классы, а остальные только подразумеваются. Так, например, при изучении алгебраических выражений обычно выделяют лишь такие их виды: одночлены, многочлены, дробные выражения, иррациональные. Но эти виды не исчерпывают всех видов алгебраических выражений, поэтому такая классификация является неполной.

Полная правильная классификация алгебраических выражений может быть произведена следующим образом.

На первой ступени классификации алгебраических выражений они делятся на два класса: рациональные и нерациональные. На второй ступени рациональные выражения делятся на целые и дробные. На третьей ступени целые выражения делятся на одночлены, многочлены и сложные целые выражения.

Эту классификацию можно представить в виде следующей

Задание 7

7.1. Почему нельзя классифицировать рациональные числа по их четности?

7.2. Установите, правильно ли произведено деление понятия:

а) Величины могут быть равными и неравными.

б) Функции бывают возрастающие и убывающие.

в) Равнобедренные треугольники могут быть остроугольными, прямоугольными и тупоугольными.

г) Прямоугольники бывают квадраты и ромбы.

7.3. Произведите деление понятия "геометрическая фигура" по свойству занимать часть плоскости и приведите примеры каждого вида.

7.4. Постройте возможные схемы классификации рациональных чисел.

7.5. Постройте схему классификации следующих понятий:

а) четырехугольник;

б) два угла.

7.6. Проведите классификацию следующих понятий:

а) треугольник и окружность;

б) углы в окружности;

в) две окружности;

г) прямая и окружность;

д) квадратные уравнения;

е) система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Курс математики 5-6 классов представляет собой органическую часть всей школьной математики. Поэтому основным требованием к его построению является структурирование содержания на единой идейной основе, которая, с одной стороны, является продолжением и развитием идей, реализованных при обучении математики в начальной школе, и, с другой стороны, служит последующему изучению математики в старших классах.

Продолжается развитие всех содержательно-методических линий курса начальной математики: числовой, алгебраической, функциональной, геометрической, логической, анализ данных. Они реализованы на числовом, алгебраическом, геометрическом материале.

В последнее время существенно пересмотрено изучение геометрии. Целью изучения геометрии в 5-6 классах является познание окружающего мира языком и средствами математики. С помощью построений и измерений учащиеся выявляют различные геометрические закономерности, которые формулируют как предложение, гипотезу. Доказательный аспект геометрии рассматривается в проблемном плане – учащимся прививается мысль, что экспериментальным путём можно открыть многие геометрические факты, но эти факты становятся математическими истинами только тогда, когда они установлены средствами, принятыми в математике.

Таким образом, геометрический материал в этом курсе может быть охарактеризован, как наглядно-деятельностная геометрия. Обучение организуется как процесс интеллектуально-практической деятельности, направленной на развитие пространственных представлений, изобразительных умений, расширение геометрического кругозора, в ходе которого важнейшие свойства геометрических фигур получаются посредством опыта и здравого смысла.

Достаточно новой в курсе 5-6 классов является содержательная линия «Анализ данных », которая объединяет в себе три направления: элементы математической статистики, комбинаторику, теорию вероятностей. Введение этого материала продиктовано самой жизнью. Его изучение направлено на формирование у школьников как общей вероятностной интуиции, так и конкретных способов оценки данных. Основная задача в этом звене – формирование соответствующего словаря, обучение простейшим приёмам сбора, представления и анализа информации, обучение решению комбинаторных задач перебором возможных вариантов, создание элементарных представлений о частоте и вероятности случайных событий.

Однако данная линия присутствует не во всех современных школьных учебниках для 5-6 классов. Особо подробно и ярко представлена данная линия в учебниках .

Алгебраический материал, включённый в курс математики 5-6 классов, является основой для систематического изучения алгебры в старших классах. Можно отметить следующие особенности изучения этого алгебраического материала:

1. Изучение алгебраического материала основано на научной основе с учётом возрастных особенностей и возможностей учащихся.

2. Формирование алгебраических понятий и выработка соответствующих умений и навыков составляют единый процесс, построенный на детально разработанной системе упражнений.

3. Система упражнений служит надёжным средством для овладения современным математическим языком, так как этот язык широко применяется при формулировке различных заданий. Например, «Докажите, что данное неравенство верно: 29 2 <1000».

4. Совершенствование вычислительных навыков органически связано с изучением алгебраического материала.

В 5-6 классах делается акцент на развитие вычислительной культуры, в частности, на обучение эвристическим приёмам прикидки и оценки результатов действий, проверки их на правдоподобие. Повышено внимание к арифметическим приёмам решения текстовых задач как средству обучения способам рассуждения, выбору стратегии решения, анализу ситуации, сопоставлению данных и, в конечном итоге, развитию мышления учащихся.

Изучаемые в это время тождественные преобразования алгебраических выражений с переменными широко применяются для функциональной пропедевтики. Значительное место в курсе математики средней школы отводится материалу функционального характера. Определение функции вводится в 7 классе, а функциональная пропедевтика начинается с 5 класса, где рассматривается понятие переменной, выражения с переменой, формулы, задающей зависимости между некоторыми величинами.

Использование буквенных обозначений позволяет ставить вопрос о построении формул. Связи между величинами задаются также табличным и графическим способами, и дети тренируются в переходе от одной формы задания зависимости к другой. Систематическая работа с конкретными зависимостями обеспечивает готовность детей к изучению функций в старших классах.

Методы . Курс математики 5-6 классов построен индуктивно. Содержание учебного материала заставляет использовать методы, способствующие формированию как продуктивной, так и репродуктивной деятельности.

В 5-6 классах наиболее часто применимы следующие методы обучения:

· Объяснительно-иллюстративный. Целый ряд понятий математики 5-6 классов может быть введён данным методом. С помощью его может быть изучен материал, который служит логическим продолжением и расширением основного материала. Этим же методом можно изучать конкретные алгоритмы. Также изучаются объяснительно-иллюстративным методом сведения, которыми можно воспользоваться как готовыми (сформированными в начальной школе) знаниями, но получающими новое применение. Цель изучения материала объяснительно-иллюстративным методом – довести знание правил, законов, алгоритмов и т.п. до уровня навыка.

· Частично-поисковый и проблемный методы. Основные понятия курса должны быть изучены методами, которые бы обеспечивали творческий (продуктивный) характер деятельности учащихся. К числу таких методов, вполне применимых в 5-6 классах, можно отнести частично-поисковый. Этим методом могут быть изучены понятия: переменная, верное и неверное неравенство и т.п.

Урок . Особенности предмета математики 5-6 классов (почти на каждом уроке необходимо изучать новые факты по предмету), требование программы, темп изучения материала привели к тому, что наиболее распространенный тип урока в этих классах – комбинированный.

Перечислим ещё некоторые особенности обучения математики в 5-6 классах:

· На первых порах изучения математики в 5 классе учащиеся повторяют известные им из 1-4 классов понятия, но повторение это ведётся на новом уровне, с привлечением математической терминологии и символики. Делается это для того, чтобы заложить основы математического языка, основы математической культуры.

· В курсе 5-6 классов часто прибегают при изложении арифметики и начал алгебры к геометрическим определениям с помощью координатной прямой или луча, что позволяет сделать обучение более наглядным, а значит, более доступным и понятным для учащихся. Подобным образом, например, изучается сравнение обыкновенных и десятичных дробей.

· Одной из особенностей данного курса является линейно-концентрическое изложение материала, в соответствии с которым учащиеся неоднократно возвращаются ко всем принципиальным вопросам, поднимаясь в каждом следующем проходе на новый уровень.

Пример, при изучении темы «Десятичные дроби и проценты» происходит переход от множества целых неотрицательных чисел к множеству рациональных неотрицательных; при этом обучение строится с опорой на известные учащимся алгоритмы действий с натуральными числами, постоянно используются знания и умения, полученные раннее.

· Первая трудность, с которой встречаются пятиклассники, - работа с объяснительным текстом учебника. Причина этого – недостаточная техника чтения у некоторых детей, малый словарный запас, а также и то, что в учебниках начальной школы такие объёмные тексты не встречались.

На протяжении всего времени обучения в 5-х и 6-х классах учителю математики необходимо систематически развивать у детей умение читать, понимать текст, работать с ним. Эта работа служит необходимой базой для успешного изучения систематических курсов алгебры и геометрии в следующих классах.

· Изучение математики требует активных умственных усилий. Очень трудно поддерживать произвольное внимание учащихся на протяжении всего урока. Напряжённая мыслительная деятельность, большое количество однотипных и в общем-то рутинных вычислений или алгебраических преобразований быстро утомляет школьников. Существует универсальный способ поддерживания рабочего тонуса учащихся: переключение с одного вида учебной деятельности на другой. Но можно воспользоваться и советом Блеза Паскаля: «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным». Данный совет особенно актуален при обучении математике в 5-6 классах. Впрочем, это тоже одна из разновидностей переключения.

2.4 Особенности формирования математических понятий в 5-6 классах

Всякое понятие, в том числе и математическое, является абстракцией от множества конкретных объектов, которые описываются им. В понятии отражаются устойчивые свойства изучаемых объектов, явлений. Эти свойства повторяются у всех объектов, которые объединяются понятием. Но каждый реальный объект имеет некоторые другие свойства, присущие только ему. Различие в несущественных свойствах только оттеняет, подчёркивает существенные.

Если в начальных классах обучение ведётся в основном на наглядно образном уровне мышления, то в 5-6 классах более глубоко развивается словесно-логическое мышление. Содержанием такого мышления являются понятия, сущность которых «уже не внешние, конкретные, наглядные признаки предметов и их отношения, а внутренние, наиболее существенные свойства предметов и явлений и соотношения между ними».