Распределение дискретной случайной величины математическое ожидание равно. Формула математического ожидания
Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X , заданной на дискретном вероятностном пространстве, называется число m =M[X]=∑x i p i , если ряд сходится абсолютно.
Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X) .
Свойства математического ожидания случайной величины
- Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C , C – постоянная;
- M=C M[X]
- Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M=M[X]+M[Y]
- Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M=M[X] M[Y] , если X и Y независимы.
Свойства дисперсии
- Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
- Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
- Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Если случайные величины X и Y зависимы: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Пример
. Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7 .
Решение. Исходя из свойств математического ожидания: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Исходя из свойств дисперсии: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Алгоритм вычисления математического ожидания
Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению сопоставить отличную от нуля вероятность.- Поочередно умножаем пары: x i на p i .
- Складываем произведение каждой пары x i p i .
Например, для n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Пример №1 .
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x i p i .
Математическое ожидание M[X] .
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Дисперсия D[X] .
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Среднее квадратическое отклонение σ(x) .
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
Пример №2 . Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения:
| Х | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| р | а | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Решение. Величину a находим из соотношения: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 или 0.24=3 a , откуда a = 0.08
Пример №3
. Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем х 1
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96
Решение.
Здесь надо составить формулу нахождения дисперсии d(x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
где матожидание m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Для наших данных
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Соответственно надо найти корни уравнения, причем их будет два.
x 3 =8, x 3 =12
Выбираем тот, который удовлетворяет условию х 1
Закон распределения дискретной случайной величины
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
Как уже известно, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины .
К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.
Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Если случайная величина характеризуется конечным рядом распределения:
| Х | х 1 | х 2 | х 3 | … | х п |
| Р | р 1 | р 2 | р 3 | … | р п |
то математическое ожидание М(Х) определяется по формуле:
Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется равенством:
где – плотность вероятности случайной величины Х .
Пример 4.7. Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.
Решение:
Случайная величина Х принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6. Составим закон ее распределения:
| Х | ||||||
| Р |
Тогда математическое ожидание равно:
Свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
М (С) = С.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М (СХ) = СМ (X).
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M(XY) = M(X)M(Y).
Пример 4.8 . Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:
| Х | Y | ||||||
| Р | 0,6 | 0,1 | 0,3 | Р | 0,8 | 0,2 |
Найти математическое ожидание случайной величины XY.
Решение .
Найдем математические ожидания каждой из данных величин:
Случайные величины X и Y независимые, поэтому искомое математическое ожидание:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
М (X + Y) = М (X) + М (Y).
Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.
Пример 4.9. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р 1 = 0,4; p 2 = 0,3 и р 3 = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.
Решение.
Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина Х 1 , которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с вероятностью р 1 = 0,4 и 0 (промах) с вероятностью q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания:
Аналогично найдем математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах:
М(Х 2) = 0,3 и М(Х 3)= 0,6.
Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов:
Х = Х 1 + Х 2 + Х 3 .
Искомое математическое ожидание Х находим по теореме о математическом, ожидании суммы.
Теория вероятности - особый раздел математики, который изучают только студенты высших учебных заведений. Вы любите расчёты и формулы? Вас не пугают перспективы знакомства с нормальным распределением, энтропией ансамбля, математическим ожиданием и дисперсией дискретной случайной величины? Тогда этот предмет вам будет очень интересен. Давайте познакомимся с несколькими важнейшими базовыми понятиями этого раздела науки.
Вспомним основы
Даже если вы помните самые простые понятия теории вероятности, не пренебрегайте первыми абзацами статьи. Дело в том, что без четкого понимания основ вы не сможете работать с формулами, рассматриваемыми далее.
Итак, происходит некоторое случайное событие, некий эксперимент. В результате производимых действий мы можем получить несколько исходов - одни из них встречаются чаще, другие - реже. Вероятность события - это отношение количества реально полученных исходов одного типа к общему числу возможных. Только зная классическое определение данного понятия, вы сможете приступить к изучению математического ожидания и дисперсии непрерывных случайных величин.
Среднее арифметическое
Ещё в школе на уроках математики вы начинали работать со средним арифметическим. Это понятие широко используется в теории вероятности, и потому его нельзя обойти стороной. Главным для нас на данный момент является то, что мы столкнемся с ним в формулах математического ожидания и дисперсии случайной величины.
Мы имеем последовательность чисел и хотим найти среднее арифметическое. Всё, что от нас требуется - просуммировать всё имеющееся и разделить на количество элементов в последовательности. Пусть мы имеем числа от 1 до 9. Сумма элементов будет равна 45, и это значение мы разделим на 9. Ответ: - 5.
Дисперсия
Говоря научным языком, дисперсия - это средний квадрат отклонений полученных значений признака от среднего арифметического. Обозначается одна заглавной латинской буквой D. Что нужно, чтобы её рассчитать? Для каждого элемента последовательности посчитаем разность между имеющимся числом и средним арифметическим и возведем в квадрат. Значений получится ровно столько, сколько может быть исходов у рассматриваемого нами события. Далее мы суммируем всё полученное и делим на количество элементов в последовательности. Если у нас возможны пять исходов, то делим на пять.
У дисперсии есть и свойства, которые нужно запомнить, чтобы применять при решении задач. Например, при увеличении случайной величины в X раз, дисперсия увеличивается в X в квадрате раз (т. е. X*X). Она никогда не бывает меньше нуля и не зависит от сдвига значений на равное значение в большую или меньшую сторону. Кроме того, для независимых испытаний дисперсия суммы равна сумме дисперсий.
Теперь нам обязательно нужно рассмотреть примеры дисперсии дискретной случайной величины и математического ожидания.
Предположим, что мы провели 21 эксперимент и получили 7 различных исходов. Каждый из них мы наблюдали, соответственно, 1,2,2,3,4,4 и 5 раз. Чему будет равна дисперсия?
Сначала посчитаем среднее арифметическое: сумма элементов, разумеется, равна 21. Делим её на 7, получая 3. Теперь из каждого числа исходной последовательности вычтем 3, каждое значение возведем в квадрат, а результаты сложим вместе. Получится 12. Теперь нам остается разделить число на количество элементов, и, казалось бы, всё. Но есть загвоздка! Давайте её обсудим.
Зависимость от количества экспериментов
Оказывается, при расчёте дисперсии в знаменателе может стоять одно из двух чисел: либо N, либо N-1. Здесь N - это число проведенных экспериментов или число элементов в последовательности (что, по сути, одно и то же). От чего это зависит?
Если количество испытаний измеряется сотнями, то мы должны ставить в знаменатель N. Если единицами, то N-1. Границу ученые решили провести достаточно символически: на сегодняшний день она проходит по цифре 30. Если экспериментов мы провели менее 30, то делить сумму будем на N-1, а если более - то на N.
Задача
Давайте вернемся к нашему примеру решения задачи на дисперсию и математическое ожидание. Мы получили промежуточное число 12, которое нужно было разделить на N или N-1. Поскольку экспериментов мы провели 21, что меньше 30, выберем второй вариант. Итак, ответ: дисперсия равна 12 / 2 = 2.
Математическое ожидание
Перейдем ко второму понятию, которое мы обязательно должны рассмотреть данной статье. Математическое ожидание - это результат сложения всех возможных исходов, помноженных на соответствующие вероятности. Важно понимать, что полученное значение, как и результат расчёта дисперсии, получается всего один раз для целой задачи, сколько бы исходов в ней не рассматривалось.
Формула математического ожидания достаточно проста: берем исход, умножаем на его вероятность, прибавляем то же самое для второго, третьего результата и т. д. Всё, связанное с этим понятием, рассчитывается несложно. Например, сумма матожиданий равна матожиданию суммы. Для произведения актуально то же самое. Такие простые операции позволяет с собой выполнять далеко не каждая величина в теории вероятности. Давайте возьмем задачу и посчитаем значение сразу двух изученных нами понятий. Кроме того, мы отвлекались на теорию - пришло время попрактиковаться.
Ещё один пример
Мы провели 50 испытаний и получили 10 видов исходов - цифры от 0 до 9 - появляющихся в различном процентном отношении. Это, соответственно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Напомним, что для получения вероятностей требуется разделить значения в процентах на 100. Таким образом, получим 0,02; 0,1 и т.д. Представим для дисперсии случайной величины и математического ожидания пример решения задачи.
Среднее арифметическое рассчитаем по формуле, которую помним с младшей школы: 50/10 = 5.
Теперь переведем вероятности в количество исходов «в штуках», чтобы было удобнее считать. Получим 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 и 9. Из каждого полученного значения вычтем среднее арифметическое, после чего каждый из полученных результатов возведем в квадрат. Посмотрите, как это сделать, на примере первого элемента: 1 - 5 = (-4). Далее: (-4) * (-4) = 16. Для остальных значений проделайте эти операции самостоятельно. Если вы всё сделали правильно, то после сложения всех вы получите 90.
Продолжим расчёт дисперсии и математического ожидания, разделив 90 на N. Почему мы выбираем N, а не N-1? Правильно, потому что количество проведенных экспериментов превышает 30. Итак: 90/10 = 9. Дисперсию мы получили. Если у вас вышло другое число, не отчаивайтесь. Скорее всего, вы допустили банальную ошибку при расчётах. Перепроверьте написанное, и наверняка всё встанет на свои места.
Наконец, вспомним формулу математического ожидания. Не будем приводить всех расчётов, напишем лишь ответ, с которым вы сможете свериться, закончив все требуемые процедуры. Матожидание будет равно 5,48. Напомним лишь, как осуществлять операции, на примере первых элементов: 0*0,02 + 1*0,1… и так далее. Как видите, мы просто умножаем значение исхода на его вероятность.
Отклонение
Ещё одно понятие, тесно связанное с дисперсией и математическим ожиданием - среднее квадратичное отклонение. Обозначается оно либо латинскими буквами sd, либо греческой строчной «сигмой». Данное понятие показывает, насколько в среднем отклоняются значения от центрального признака. Чтобы найти её значение, требуется рассчитать квадратный корень из дисперсии.
Если вы построите график нормального распределения и захотите увидеть непосредственно на нём квадратичного отклонения, это можно сделать в несколько этапов. Возьмите половину изображения слева или справа от моды (центрального значения), проведите перпендикуляр к горизонтальной оси так, чтобы площади получившихся фигур были равны. Величина отрезка между серединой распределения и получившейся проекцией на горизонтальную ось и будет представлять собой среднее квадратичное отклонение.
Программное обеспечение
Как видно из описаний формул и представленных примеров, расчеты дисперсии и математического ожидания - не самая простая процедура с арифметической точки зрения. Чтобы не тратить время, имеет смысл воспользоваться программой, используемой в высших учебных заведениях - она называется «R». В ней есть функции, позволяющие рассчитывать значения для многих понятий из статистики и теории вероятности.
Например, вы задаете вектор значений. Делается это следующим образом: vector <-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
В заключение
Дисперсия и математическое ожидание - это без которых сложно в дальнейшем что-либо рассчитать. В основном курсе лекций в вузах они рассматриваются уже в первые месяцы изучения предмета. Именно из-за непонимания этих простейших понятий и неумения их рассчитать многие студенты сразу начинают отставать по программе и позже получают плохие отметки по результатам сессии, что лишает их стипендии.
Потренируйтесь хотя бы одну неделю по полчаса в день, решая задания, схожие с представленными в данной статье. Тогда на любой контрольной по теории вероятности вы справитесь с примерами без посторонних подсказок и шпаргалок.
Величин.
Основные числовые характеристики случайных
Закон распределения плотностью характеризует случайную величину. Но часто он неизвестен, и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. Рассмотрим основные из них.
Определение: Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины называют сумму произведений всех возможных значений этой величины на их вероятности:
Если дискретная случайная величина Х принимает счётное множество возможных значений, то
Причем математическое ожидание существует, если данный ряд абсолютно сходится.
Из определения следует, что M(X) дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.
Пример: Пусть Х – число появлений события А в одном испытании, P(A) = p . Требуется найти математическое ожидание Х .
Решение: Составим табличный закон распределения Х :
| X | 0 | 1 |
| P | 1 - p | p |
Найдем математическое ожидание:
Таким образом, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события .
Происхождение термина математическое ожидание связано с начальным периодом возникновения теории вероятностей (XVI-XVIIвв.), когда область ее применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша, т.е. математическое ожидание выигрыша.
Рассмотрим вероятностный смысл математического ожидания .
Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина Х приняла m 1 раз значение x 1 , m 2 раз значение x 2 , и так далее, и, наконец, она приняла m k раз значение x k , причём m 1 + m 2 +…+ + m k = n .
Тогда сумма всех значений, принятых случайной величиной Х , равна x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k .
Среднее арифметическое всех значений, принятых случайной величиной Х ,равно:
так как – относительная частота значения для любого значения i = 1, …, k.
Как известно, если число испытаний n достаточно велико, то относительная частота приближённо равна вероятности появления события , следовательно,
Таким образом, .
Вывод: Математическое ожидание дискретной случайной величины приближённо равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Рассмотрим основные свойства математического ожидания.
Свойство 1: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной величине:
М(С) = С.
Доказательство: Постоянную С можно рассматривать , которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р = 1. Следовательно, М(С) =С 1= С.
Определим произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину Х как дискретную случайную величину СХ , возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения Х СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений Х :
| СХ | C | C | … | C |
| Х | … | |||
| Р | … |
Свойство 2: Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
M(CX) = CM(X).
Доказательство: Пусть случайная величина X задана законом распределения вероятностей:
| X | … | |||
| P | … |
Напишем закон распределения вероятностей случайной величины CX :
| СX | C | C | … | C |
| P | … |
М(CX) = C + C = C + ) = C M(X).
Определение: Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы.
Определение: Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Определим произведение независимых дискретных случайных величин X и Y как дискретную случайную величину XY , возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения X на каждое возможное значение Y . Вероятности возможных значений XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей.
Пусть даны распределения случайных величин X и Y:
| X | … | |||
| P | … |
| Y | … | |||
| G | … |
Тогда распределение случайной величины XY имеет вид:
| XY | … | |||
| P | … |
Некоторые произведения могут оказаться равными. В этом случае вероятность возможного значения произведения равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если = , тогда вероятность значения равна
Свойство 3: Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M(XY) = M(X) M(Y).
Доказательство: Пусть независимые случайные величины X и Y заданы своими законами распределения вероятностей:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Для упрощения выкладок ограничимся малым числом возможных значений. В общем случае доказательство аналогичное.
Составим закон распределения случайной величины XY :
| XY | ||||
| P |
M(XY) =
M(X) M(Y).
Следствие: Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Доказательство: Докажем для трех взаимно независимых случайных величин X , Y , Z . Случайные величины XY и Z независимы, тогда получаем:
M(XYZ) = M(XY Z) = M(XY) M(Z) = M(X) M(Y) M(Z).
Для произвольного числа взаимно независимых случайных величин доказательство проводится методом математической индукции.
Пример: Независимые случайные величины X и Y
| X | 5 | 2 | |
| P | 0,6 | 0,1 | 0,3 |
| Y | 7 | 9 |
| G | 0,8 | 0,2 |
Требуется найти M(XY) .
Решение: Так как случайные величины X и Y независимы, то M(XY)=M(X) M(Y)=(5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.
Определим сумму дискретных случайных величин X и Y как дискретную случайную величину X+Y , возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения X с каждым возможным значением Y . Вероятности возможных значений X+Y для независимых случайных величин X и Y равны произведениям вероятностей слагаемых, а для зависимых случайных величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.
Если = и вероятности этих значений соответственно равны , то вероятность (то же, что и ) равна .
Свойство 4: Математическое ожидание суммы двух случайных величин (зависимых или независимых) равно сумме математических ожиданий слагаемых:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Доказательство: Пусть две случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Для упрощения вывода ограничимся двумя возможными значениями каждой из величин. В общем случае доказательство аналогичное.
Составим все возможные значения случайной величины X+Y (предположим, для простоты, что эти значения различны; если – нет, то доказательство проводится аналогично):
| X+Y | ||||
| P |
Найдем математическое ожидание этой величины.
M (X+Y ) = + + + +
Докажем, что + = .
Событие X = (его вероятность P(X = ) влечет за собой событие, состоящее в том, что случайная величина X + Y примет значение или (вероятность этого события, по теореме сложения, равна ) и обратно. Тогда = .
Аналогично доказываются равенства = = =
Подставляя правые части этих равенств в полученную формулу для математического ожидания, получим:
M(X + Y) = + ) = M(X) + M(Y).
Следствие: Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.
Доказательство: Докажем для трех случайных величин X , Y , Z . Найдем математическое ожидание случайных величин X +Y и Z :
M(X+Y+Z)=M((X+Y Z)=M(X+Y) M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)
Для произвольного числа случайных величин доказательство проводится методом математической индукции.
Пример: Найти среднее значение суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.
Решение: Пусть X – число очков, которое может выпасть на первой кости, Y – на второй. Очевидно, что случайные величины X и Y имеют одинаковые распределения. Запишем данные распределений X и Y в одну таблицу:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
M(X) = M(Y) (1+2+3+4+5+6) = =
M(X + Y) = 7.
Итак, среднее значение суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей равно 7 .
Теорема: Математическое ожидание M(X) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: M(X) = np.
Доказательство: Пусть X – число наступлений события A в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число X появлений события A в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Тогда, если число появлений события в первом испытании, во втором, и так далее, наконец, – число появлений события в n -ом исытании, то общее число появлений события вычисляется по формуле:
По свойству 4 математического ожидания имеем:
M(X) = M( ) + … + M( ).
Так как математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности события, то
M( ) = M( )= … = M( ) = p.
Следовательно, M(X) = np.
Пример: Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия равна p = 0,6 . Найти среднее число попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
Решение: Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание равно:
M(X) = np = 10 0,6 = 6.
Итак, среднее число попаданий равно 6.
Теперь рассмотрим математическое ожидание непрерывной случайной величины.
Определение: Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл:
где f(x) – плотность распределения вероятностей.
Если возможные значения непрерывной случайной величины X принадлежат всей оси Ox, то
Предполагается, что данный несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. сходится интеграл Если бы это требование не выполнялось, то значение интеграла зависело бы от скорости стремления (в отдельности) нижнего предела к -∞, а верхнего предела – к +∞.
Можно доказать, что все свойства математического ожидания дискретной случайной величины сохраняются и для непрерывной случайной величины . Доказательство основано на свойствах определенных и несобственных интегралов.
Очевидно, чтоматематическое ожидание M(X) больше наименьшего и меньше наибольшего из возможных значений случайной величины X . Т.е. на числовой оси возможные значения случайной величины расположены слева и справа от ее математического ожидания. В этом смысле, математическое ожидание M(X) характеризует расположение распределения, и поэтому его часто называют центром распределения .
Глава 6.
Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание и его свойства
Для решения многих практических задач не всегда требуется знание всех возможных значений случайной величины и их вероятностей. Более того, иногда закон распределения исследуемой случайной величины просто неизвестен. Однако требуется выделить какие-то особенности этой случайной величины, иначе говоря, числовые характеристики.
Числовые характеристики – это некоторые числа, характеризующие те или иные свойства, отличительные признаки случайной величины.
Например, среднее значение случайной величины, средний разброс всех значений случайной величины вокруг своего среднего и т.д. Главное назначение числовых характеристик состоит в том, чтобы в сжатой форме выразить наиболее важные особенности распределения исследуемой случайной величины. Числовые характеристики в теории вероятностей играют огромную роль. Они помогают решать, даже без знания законов распределения, очень многие важные практические задачи.
Среди всех числовых характеристик, в первую очередь выделим характеристики положения. Это характеристики, которые фиксируют положение случайной величины на числовой оси, т.е. некое среднее значение, около которого группируются остальные значения случайной величины.
Из характеристик положения наибольшую роль в теории вероятностей играет математическое ожидание.
Математическое ожидание иногда называют просто средним значением случайной величины. Оно является неким центром распределения.
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Рассмотрим понятие математического ожидания вначале для дискретной случайной величины.
Прежде чем вводить формальное определение, решим следующую простую задачу.
Пример 6.1. Пусть некий стрелок производит 100 выстрелов по мишени. В результате получена следующая картина: 50 выстрелов – попадание в "восьмерку", 20 выстрелов – попадание в "девятку" и 30 – в "десятку". Какова средняя сумма очков при одном выстреле.
Решение данной задачи очевидно и сводится к нахождению среднего значения 100 чисел, а именно, очков.
Преобразуем дробь, почленно поделив числитель на знаменатель, и представим среднее значение в виде следующей формулы:
Предположим теперь, что число очков при одном выстреле – это значения некоторой дискретной случайной величины Х . Из условия задачи ясно, что х 1 =8; х 2 =9; х 3 =10. Известны относительные частоты появления этих значений, которые, как известно, при большом числе испытаний приближенно равны вероятностям соответствующих значений, т.е. р 1 ≈0,5; р 2 ≈0,2; р 3 ≈0,3. Итак, . Величина в правой части – это математическое ожидание дискретной случайной величины.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на вероятности этих значений.
Пусть дискретная случайная величина Х задана своим рядом распределения:
| Х | х 1 | х 2 | … | х n |
| Р | р 1 | р 2 | … | р n |
Тогда математическое ожидание М (Х ) дискретной случайной величины определяется по следующей формуле:
Если дискретная случайная величина принимает бесконечное счетное множество значений, то математическое ожидание выражается формулой:
,
причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства абсолютно сходится.
Пример 6.2 . Найти математическое ожидание выигрыша Х в условиях примера 5.1.
Решение . Напомним, что ряд распределения Х имеет следующий вид:
| Х | |||
| Р | 0,7 | 0,2 | 0,1 |
Получим М (Х )=0∙0,7+10∙0,2+50∙0,1=7. Очевидно, что 7 рублей – это справедливая цена билета в данной лотерее, без различных затрат, например, связанных с распространением или изготовлением билетов. ■
Пример 6.3 . Пусть случайная величина Х – это число появлений некоторого события А в одном испытании. Вероятность этого события равна р . Найти М (Х ).
Решение. Очевидно, что возможные значения случайной величины: х 1 =0 – событие А не появилось и х 2 =1 – событие А появилось. Ряд распределения имеет вид:
| Х | ||
| Р | 1−р | р |
Тогда М (Х ) = 0∙(1−р )+1∙р = р . ■
Итак, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.
В начале параграфа была приведена конкретная задача, где указывалась связь между математическим ожиданием и средним значением случайной величины. Поясним это в общем виде.
Пусть произведено k испытаний, в которых случайная величина Х приняла k 1 раз значение х 1 ; k 2 раз значение х 2 и т.д. и, наконец, k n раз значение x n . Очевидно, что k 1 + k 2 +…+ k n = k . Найдем среднее арифметическое всех этих значений, имеем
Заметим, что дробь - это относительная частота появления значения х i в k испытаниях. При большом числе испытаний относительная частота приближенно равна вероятности, т.е. . Отсюда следует, что
.
Таким образом, математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины, причем тем точнее, чем больше число испытаний – в этом состоит вероятностный смысл математического ожидания.
Математическое ожидание иногда называют центром распределения случайной величины, так как, очевидно, что возможные значения случайной величины расположены на числовой оси слева и справа от ее математического ожидания.
Перейдем теперь к понятию математического ожидания для непрерывной случайной величины.