Как найти математическое ожидание случайной величины. Математическое ожидание

– количество мальчиков среди 10 новорождённых.

Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:

Либо мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.

И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:

– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах) .

Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта:)

Тем не менее, ваши гипотезы?

2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Примечание : в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ

Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную .

Закон распределения дискретной случайной величины

– этосоответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:

Довольно часто встречается термин ряд распределения , но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».

А теперь очень важный момент : поскольку случайная величина обязательно примет одно из значений , то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:

или, если записать свёрнуто:

Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:

Без комментариев.

Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:

Пример 1

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:

…наверное, вы давно мечтали о таких задачах:) Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля .

Решение : так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу , а значит, сумма их вероятностей равна единице:

Разоблачаем «партизана»:

– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.

Контроль: , в чём и требовалось убедиться.

Ответ :

Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности , теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера :

Пример 2

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Решение : как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания . Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей.

Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению :
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.

С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет:

Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий!

Ответ : искомый закон распределения выигрыша:

Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 3

Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.

…я знал, что вы по нему соскучились:) Вспоминаем теоремы умножения и сложения . Решение и ответ в конце урока.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики .

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:

или в свёрнутом виде:

Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:

Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:

Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:

Таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно .

Не верь впечатлениям – верь цифрам!

Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры:) Ну, может, только ради развлечения .

Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.

Творческое задание для самостоятельного исследования:

Пример 4

Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?

Справка : европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино

Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь

2. Основы теории вероятностей

Математическое ожидание

Рассмотрим случайную величину с числовыми значениями. Часто оказывается полезным связать с этой функцией число – ее «среднее значение» или, как говорят, «среднюю величину», «показатель центральной тенденции». По ряду причин, некоторые из которых будут ясны из дальнейшего, в качестве «среднего значения» обычно используют математическое ожидание.

Определение 3. Математическим ожиданием случайной величины Х называется число

т.е. математическое ожидание случайной величины – это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям соответствующих элементарных событий.

Пример 6. Вычислим математическое ожидание числа, выпавшего на верхней грани игрального кубика. Непосредственно из определения 3 следует, что

Утверждение 2. Пусть случайная величина Х принимает значения х 1 , х 2 ,…, х m . Тогда справедливо равенство

(5)

т.е. математическое ожидание случайной величины – это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям того, что случайная величина принимает определенные значения.

В отличие от (4), где суммирование проводится непосредственно по элементарным событиям, случайное событие может состоять из нескольких элементарных событий.

Иногда соотношение (5) принимают как определение математического ожидания. Однако с помощью определения 3, как показано далее, более легко установить свойства математического ожидания, нужные для построения вероятностных моделей реальных явлений, чем с помощью соотношения (5).

Для доказательства соотношения (5) сгруппируем в (4) члены с одинаковыми значениями случайной величины :

Поскольку постоянный множитель можно вынести за знак суммы, то

По определению вероятности события

С помощью двух последних соотношений получаем требуемое:

Понятие математического ожидания в вероятностно-статистической теории соответствует понятию центра тяжести в механике. Поместим в точки х 1 , х 2 ,…, х m на числовой оси массы P (X = x 1 ), P (X = x 2 ),…, P (X = x m ) соответственно. Тогда равенство (5) показывает, что центр тяжести этой системы материальных точек совпадает с математическим ожиданием, что показывает естественность определения 3.

Утверждение 3. Пусть Х – случайная величина, М(Х) – ее математическое ожидание, а – некоторое число. Тогда

1) М(а)=а; 2) М(Х-М(Х))=0; 3) М[(X - a ) 2 ]= M [(X - M (X )) 2 ]+(a - M (X )) 2 .

Для доказательства рассмотрим сначала случайную величину, являющуюся постоянной, т.е. функция отображает пространство элементарных событий в единственную точку а . Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то

Если каждый член суммы разбивается на два слагаемых, то и вся сумма разбивается на две суммы, из которых первая составлена из первых слагаемых, а вторая – из вторых. Следовательно, математическое ожидание суммы двух случайных величин Х+У , определенных на одном и том же пространстве элементарных событий, равно сумме математических ожиданий М(Х) и М(У) этих случайных величин:

М(Х+У) = М(Х) + М(У).

А потому М(Х-М(Х)) = М(Х) - М(М(Х)). Как показано выше, М(М(Х)) = М(Х). Следовательно, М(Х-М(Х)) = М(Х) - М(Х) = 0.

Поскольку (Х - а) 2 = {(X – M (X )) + (M (X ) - a )} 2 = (X - M (X )) 2 + 2(X - M (X ))(M (X ) - a ) + (M (X ) – a ) 2 , то M [(Х - а) 2 ] = M (X - M (X )) 2 + M {2(X - M (X ))(M (X ) - a )} + M [(M (X ) – a ) 2 ]. Упростим последнее равенство. Как показано в начале доказательства утверждения 3, математическое ожидание константы – сама эта константа, а потому M [(M (X ) – a ) 2 ] = (M (X ) – a ) 2 . Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то M {2(X - M (X ))(M (X ) - a )} = 2(M (X ) - a )М(X - M (X )). Правая часть последнего равенства равна 0, поскольку, как показано выше, М(Х-М(Х))=0. Следовательно, М[(X - a ) 2 ]= M [(X - M (X )) 2 ]+(a - M (X )) 2 , что и требовалось доказать.

Из сказанного вытекает, что М[(X - a ) 2 ] достигает минимума по а , равного M [(X - M (X )) 2 ], при а = М(Х), поскольку второе слагаемое в равенстве 3) всегда неотрицательно и равно 0 только при указанном значении а .

Утверждение 4. Пусть случайная величина Х принимает значения х 1 , х 2 ,…, х m , а f – некоторая функция числового аргумента. Тогда

Для доказательства сгруппируем в правой части равенства (4), определяющего математическое ожидание, члены с одинаковыми значениями :

Пользуясь тем, что постоянный множитель можно выносить за знак суммы, и определением вероятности случайного события (2), получаем

что и требовалось доказать.

Утверждение 5. Пусть Х и У – случайные величины, определенные на одном и том же пространстве элементарных событий, а и b – некоторые числа. Тогда M (aX + bY )= aM (X )+ bM (Y ).

С помощью определения математического ожидания и свойств символа суммирования получаем цепочку равенств:

Требуемое доказано.

Выше показано, как зависит математическое ожидание от перехода к другому началу отсчета и к другой единице измерения (переход Y =aX +b ), а также к функциям от случайных величин. Полученные результаты постоянно используются в технико-экономическом анализе, при оценке финансово-хозяйственной деятельности предприятия, при переходе от одной валюты к другой во внешнеэкономических расчетах, в нормативно-технической документации и др. Рассматриваемые результаты позволяют применять одни и те же расчетные формулы при различных параметрах масштаба и сдвига.

Предыдущая

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно, такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Математическое ожидание, как будет показано далее, приближенно равно среднему значению случайной величины. Для решения многих задач достаточно знать математическое ожидание. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и, следовательно, стреляет лучше второго.

Определение4.1: Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина X может принимать только значения x 1, x 2, … x n , вероятности которых соответственно равны p 1, p 2, … p n . Тогда математическое ожидание M (X ) случайной величины X определяется равенством

M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n .

Eсли дискретная случайная величина X принимает счетное множество возможных значений, то

,

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Пример. Найти математическое ожидание числа появлений события A в одном испытании, если вероятность события A равна p .

Решение: Случайная величина X – число появлений события A имеет распределение Бернулли, поэтому

Таким образом, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события .

Вероятностный смысл математического ожидания

Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина X приняла m 1 раз значение x 1 , m 2 раз значение x 2 ,…, m k раз значение x k , причем m 1 + m 2 + …+ m k = n . Тогда сумма всех значений, принятых X , равна x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .

Среднее арифметическое всех значений, принятых случайной величиной, будет

Отношение m i / n - относительная частота W i значения x i приближенно равно вероятности появления события p i , где , поэтому

Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины .

Свойства математического ожидания

Свойство1: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

Свойство2: Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

Определение4.2: Две случайные величины называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы .

Определение4.3: Несколько случайных величин называют взаимно независимыми , если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Свойство3: Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Следствие: Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Свойство4: Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Следствие: Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Пример. Вычислим математическое ожидание биномиальной случайной величины X – числа наступления события A в n опытах.

Решение: Общее число X появлений события A в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Введем случайные величины X i – число появлений события в i -ом испытании, которые являются Бернуллиевскими случайными величинами с математическим ожиданием , где . По свойству математического ожидания имеем

Таким образом, математическое ожидание биномиального распределения с параметрами n и p равно произведению np .

Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия p = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Решение: Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и,следовательно, искомое математическое ожидание

Как уже известно, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины .

К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Если случайная величина характеризуется конечным рядом распределения:

Х	х 1	х 2	х 3	…	х п
Р	р 1	р 2	р 3	…	р п

то математическое ожидание М(Х) определяется по формуле:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется равенством:

где – плотность вероятности случайной величины Х .

Пример 4.7. Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.

Решение:

Случайная величина Х принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6. Составим закон ее распределения:

Х
Р

Тогда математическое ожидание равно:

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М (С) = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М (СХ) = СМ (X).

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY) = M(X)M(Y).

Пример 4.8 . Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

Х					Y
Р	0,6	0,1	0,3		Р	0,8	0,2

Найти математическое ожидание случайной величины XY.

Решение .

Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

Случайные величины X и Y независимые, поэтому искомое математическое ожидание:

M(XY) = M(X)M(Y)=

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М (X + Y) = М (X) + М (Y).

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Пример 4.9. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р 1 = 0,4; p 2 = 0,3 и р 3 = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Решение.

Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина Х 1 , которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с вероятностью р 1 = 0,4 и 0 (промах) с вероятностью q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания:

Аналогично найдем математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах:

М(Х 2) = 0,3 и М(Х 3)= 0,6.

Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов:

Х = Х 1 + Х 2 + Х 3 .

Искомое математическое ожидание Х находим по теореме о математическом, ожидании суммы.

Математическое ожидание - это, определение

Мат ожидание - это одно из важнейших понятий в математической статистике и теории вероятностей, характеризующее распределение значений или вероятностей случайной величины. Обычно выражается как средневзвешенное значение всех возможных параметров случайной величины. Широко применяется при проведении технического анализа, исследовании числовых рядов, изучении непрерывных и продолжительных процессов. Имеет важное значение при оценке рисков, прогнозировании ценовых показателей при торговле на финансовых рынках, используется при разработке стратегий и методов игровой тактики в теории азартных игр .

Мат ожидание - это среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины рассматривается в теории вероятностей.

Мат ожидание - это мера среднего значения случайной величины в теории вероятности. Мат ожидание случайной величины x обозначается M(x) .

Математическое ожидание (Population mean) - это

Мат ожидание - это

Мат ожидание - это в теории вероятности средневзвешенная величина всех возможных значений, которые может принимать эта случайная величина.

Мат ожидание - это сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Математическое ожидание (Population mean) - это

Мат ожидание - это средняя выгода от того или иного решения при условии, что подобное решение может быть рассмотрено в рамках теории больших чисел и длительной дистанции.

Мат ожидание - это в теории азартных игр сумма выигрыша, которую может заработать или проиграть спекулянт, в среднем, по каждой ставке. На языке азартных спекулянтов это иногда называется «преимуществом спекулянта » (если оно положительно для спекулянта) или «преимуществом казино» (если оно отрицательно для спекулянта).

Математическое ожидание (Population mean) - это