Primitív. Határozatlan integrál

Osztály: 11

Előadás a leckéhez

Vissza előre

Figyelem! A dia előnézete csak tájékoztató jellegű, és nem feltétlenül képviseli a bemutató teljes terjedelmét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Az algebra óra technológiai térképe 11. évfolyam.

"Az ember csak úgy ismerheti fel képességeit, ha megpróbálja alkalmazni azokat."
Seneca az ifjabb.

Órák száma szakaszonként: 10 óra.

Téma blokkolása: Antiderivatív és határozatlan integrál.

Az óra vezető témája: ismeretek és általános műveltségi készségek formálása tipikus, közelítő és többszintű feladatok rendszerén keresztül.

Az óra céljai:

• Nevelési: az antiderivatív fogalmának kialakítása, megszilárdítása, különböző szintű antiderivatív funkciók megtalálása.
• Fejlesztés: a tanulók szellemi tevékenységének fejlesztése, az elemzés, összehasonlítás, általánosítás, rendszerezés műveletei alapján.
• Nevelési: a tanulók világnézeti nézeteinek kialakítása, az eredményért való felelősségre, sikerélményre nevelni.

Az óra típusa:új anyagok tanulása.

Tanítási módok: verbális, verbális-vizuális, problematikus, heurisztikus.

Tanulmányi formák: egyéni, páros, csoportos, általános osztály.

Az oktatás eszközei: információ, számítógép, epigráf, szóróanyag.

Várható tanulási eredmények: tanuló köteles

• származék definíciója
• az antiderivatív definíciója félreérthető.

• antiderivatív függvényeket találni a legegyszerűbb esetekben
• ellenőrizze, hogy egy függvény antideriváltja-e egy adott időintervallumban.

ÓRA FELÉPÍTÉSE:

1. Az óra céljának kitűzése (2 perc)
2. Felkészülés új anyagok tanulására (3 perc)
3. Ismerkedés az új anyaggal (25 perc)
4. A tanultak kezdeti reflexiója és alkalmazása (10 perc)
5. Házi feladat beállítása (2 perc)
6. A lecke összegzése (3 perc)
7. Tartalék feladatok.

Az órák alatt

1. A téma üzenete, az óra célja, az oktatási tevékenység feladatai és motivációja.

Az írótáblán:

*** Származékos – új függvényt „gyárt”. Primitív - az elsődleges kép.

2. A tudás aktualizálása, a tudás rendszerezése összehasonlításban.

Differenciálás – a derivált megtalálása.

Az integráció egy függvény visszaállítása adott deriválttal.

Új karakterek bemutatása:

* szóbeli gyakorlatok: pontok helyett olyan funkciót tegyünk, amelyik az egyenlőséget kielégíti (lásd előadás) -egyéni munka.

(ilyenkor 1 tanuló differenciálási képleteket ír a táblára, 2 tanuló - a megkülönböztetés szabályait).

• az önvizsgálatot a hallgatók végzik.(egyéni munka)
• a tanulók tudásának frissítése.

3. Új anyag elsajátítása.

A) Reciprok műveletek a matematikában.

Tanár: a matematikában 2 kölcsönösen fordított művelet van a matematikában. Vessünk egy pillantást az összehasonlításra.

B) Reciprok műveletek a fizikában.

A mechanika részben két egymással ellentétes problémát tárgyalunk. Anyagi pont adott mozgásegyenlete szerinti sebesség megkeresése (a függvény deriváltjának megkeresése) és a mozgáspályára vonatkozó egyenlet megtalálása az ismert sebességképlet segítségével.

1. példa 140. oldal - munka tankönyvvel (egyéni munka).

Azt a folyamatot, amikor egy adott függvényre vonatkozóan deriváltot találunk, differenciálásnak, az inverz műveletet, vagyis az adott derivált függvényében történő függvény megtalálásának folyamatát integrációnak nevezzük.

C) Bevezetésre kerül az antiderivatív definíciója.

Tanár: Ahhoz, hogy a feladat konkrétabbá váljon, rögzítenünk kell a kiindulási helyzetet.

Feladatok a primitív megtalálás képességének kialakítására - csoportmunka. (lásd az előadást)

Feladatok annak bizonyítására, hogy az antiderivált egy adott intervallumon lévő függvényre vonatkozik - pármunka. (lásd az előadást)

4. A tanultak elsődleges megértése és alkalmazása.

Példák megoldásokkal "Találj hibát" - egyéni munka. (Lásd az előadást)

***végezzen keresztellenőrzést.

Következtetés: ezeknek a feladatoknak a végrehajtása során könnyen észrevehető, hogy az antiderivált kétértelműen van meghatározva.

5. Házi feladat beállítása

Olvassa el a magyarázó szöveget a 4. fejezet 20. bekezdésében, jegyezze meg az 1. primitív definícióját, oldja meg a 20.1 -20.5 (c, d) - mindenki számára kötelező feladat 20.6 (b), 20.7 (c, d), 20.8 ( b), 20,9 (b) - 4 választási példa.

6. A lecke összegzése.

A frontális felmérés során a tanulókkal közösen összegzik az óra eredményeit, az új anyag fogalmának tudatos megértése történhet hangulatjelek formájában.

Mindent értett, mindent sikerült.

Részben nem értette (a), nem sikerült mindent megtenni.

7. Tartalék feladatok.

A fent javasolt feladatok egész osztály általi korai teljesítése esetén a legfelkészültebb tanulók foglalkoztatásának és fejlődésének biztosítása érdekében a 20.6 (a), 20.7 (a), 20.9 (a) feladatokat is tervezik alkalmazni.

Irodalom:

1. A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, elemzési algebra, profilszint, 1. rész, 2. rész problémakönyv, Manvelov S. G. "A kreatív órafejlesztés alapjai".

NYÍLT ÓRA A TÉMÁBAN

« ÁLTALÁNOS ÉS MEGHATÁROZOTT INTEGRÁL.

A MEGHATÁROZOTT INTEGRÁL TULAJDONSÁGAI”.

11.a osztály a matematika elmélyült tanulmányozásával

Probléma bemutatása.

Problémakereső tanulási technológiák.

ELSŐDLEGES ÉS MEGHATÁROZOTT INTEGRÁL.

A MEGHATÁROZOTT INTEGRÁL TULAJDONSÁGAI.

AZ ÓRA CÉLJA:

Aktiválja a mentális tevékenységet;

Hozzájárulni a kutatási módszerek asszimilációjához

Erősebb tanulási élményt nyújt.

A LECKE CÉLKITŰZÉSEI:

bevezetni az antiderivatív fogalmát;

bizonyítsd be az adott függvény antideriváltjainak halmazáról szóló tételt (az antiderivált definíciót használva);

bevezetni a határozatlan integrál definícióját;

bizonyítsa be a határozatlan integrál tulajdonságait;

a határozatlan integrál tulajdonságainak használati készségeinek fejlesztésére.

ELŐZETES MUNKA:

ismételje meg a differenciálás szabályait és képleteit

differenciálfogalom.

AZ ÓRÁK ALATT

A problémák megoldására javasolt. A problémák fel vannak írva a táblára.

A tanulók választ adnak az 1., 2. feladatok megoldására.

(A differenciálművel kapcsolatos feladatok megoldási tapasztalatainak frissítése

idézés).

1. Az S(t) test mozgástörvénye, határozza meg pillanatnyi értékét

sebesség bármikor.

2. Tudva, hogy az áramló villamos energia mennyisége

a vezetőn keresztül a q (t) = 3t képlettel fejezzük ki - 2 t,

levezetni egy képletet az áramerősség kiszámítására bármely

időpont t.

I (t) = 6t - 2.

3. A mozgó test sebességének ismerete minden pillanatban

hogy megtaláljam mozgásának törvényét.

Tudva, hogy a vezetőn áthaladó áram erőssége bármely

csataidőpont I (t) = 6t - 2 , állítsa le a képletet

az áthaladó villamos energia mennyiségének meghatározása

a karmesteren keresztül.

Tanár: Megoldható-e a 3. és 4. számú feladat a segítségével?

a rendelkezésünkre álló pénzeszközök?

(Problémahelyzet kialakítása).

A tanulók tippjei:

A probléma megoldásához be kell vezetni egy műveletet

a differenciálódás ellentéte.

A differenciálási műveletet egy adotthoz viszonyítjuk

függvény F (x) deriváltja.

Tanár: Mi a differenciálás feladata?

A hallgatók következtetései:

Az adott f (x) függvény alapján keressünk egy ilyen függvényt

F (x) melynek deriváltja f (x) , azaz.

Ezt a műveletet nevezzük pontosabban integrációnak

határozatlan idejű integráció.

Integrálszámításnak nevezzük a matematikának azt a részét, amely az integráló függvények működésének tulajdonságait és alkalmazásait a fizika és geometria feladatok megoldására vizsgálja.

Az integrálszámítás a matematikai elemzés egy része, a differenciálszámítással együtt a matematikai elemzés apparátusának alapját képezi.

Az integrálszámítás nagyszámú természettudományi és matematikai probléma mérlegeléséből jött létre. Közülük a legfontosabb az egy ismert, de talán változó mozgássebesség mentén adott idő alatt megtett távolság meghatározásának fizikai problémája, illetve egy sokkal ősibb probléma - a geometriai alakzatok területeinek és térfogatainak kiszámítása.

Hogy mi ennek az inverz műveletnek a bizonytalansága, az még várat magára.

Vezessünk be egy definíciót. (röviden szimbolikusan írva

Az asztalon).

Definíció 1. Valamely intervallumon definiált F (x) függvény

ke X, az adott függvény antideriváltjának nevezzük

ugyanazon az intervallumon, ha minden x-re x

egyenlőség

F(x) = f (x) vagy d F(x) = f (x) dx .

Például. (x) = 2x, ez az egyenlőség azt jelenti, hogy a függvény

x az egész számegyenesen antiderivált

a 2x funkcióhoz.

Az antiderivatív definícióját használva végezze el a gyakorlatot

2. szám (1,3,6) . Ellenőrizze, hogy az F függvény egy antiderivált

noah az f függvényre, ha

1) F(x) =
2 cos 2x , f (x) = x - 4 bűn 2x .

2) F(x) = tg x - cos 5x, f (x) =
+ 5 sin 5x.

3) F(x) = x sin x +
, f(x) = 4x sinx + x cosx +
.

A példák megoldásait a tanulók felírják a táblára, megjegyzéseket

hajtja a tetteit.

Az x függvény az egyetlen antiderivált

2x funkcióhoz?

A tanulók példákat mondanak

x + 3; x - 92 stb. ,

A tanulók saját maguk vonják le a következtetéseket:

Minden függvénynek végtelen sok antideriváltja van.

Bármely x + C alakú függvény, ahol C valamilyen szám,

az x antideriváltja.

Az antiderivatív tételt diktálás alatt jegyzetfüzetbe írjuk

Tétel. Ha az f függvénynek van antideriváltja az intervallumon

F, akkor tetszőleges C számra az F + C függvény is

az f antideriváltja. Egyéb primitívek

az X-en lévő f függvény nem.

A bizonyítást a tanulók végzik tanári irányítás mellett.

a) Mert F az f antideriváltja az X intervallumon, tehát

F(x) = f(x) minden x X esetén.

Akkor x X-re bármely C esetén a következőt kapjuk:

(F(x) + C) = f(x) . Ez azt jelenti, hogy F (x) + C is

antiderivatív f az X-en.

b) Bizonyítsuk be, hogy más X-en lévő antideriváltokra az f függvény

nem rendelkezik.

Tételezzük fel, hogy Ф az X-en lévő f antiderivatívája is.

Ekkor Ф(x) = f (x) és ezért minden x X-re van:

Ф (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, tehát

Ф - F állandó X-en. Legyen Ф (x) - F (x) = C, akkor

Ф (x) = F (x) + C, tehát bármilyen antiderivált

Az X-en lévő f függvénynek F + C alakja van.

Tanár: mi a feladat az összes prototípus megtalálása?

ehhez a funkcióhoz?

A tanulók a következő következtetésre jutnak:

Az összes antiderivatív megtalálásának problémája megoldódott

találni egyet: ha ilyen a
.

A konstans tényező kivehető az integráljelből.

=A.

=

=
+ C.

A levont következtetések gyakorlati alkalmazása, a példák megoldása során.

A határozatlan integrál tulajdonságait felhasználva oldja meg az 1. (2,3) példát!

Integrálok kiszámítása.

.

A tanulók füzetbe írnak megoldásokat a táblánál dolgozva

Anyagleírás: Óraösszefoglalót ajánlok középiskolásoknak a következő témában: "Anti-derivatív és integrál." Ez az anyag hasznos lesz a tanárok számára az e szakasz tanulmányozása során szerzett ismeretek összefoglalása és rendszerezése során, és segít a diákoknak a téma gyakorlati jelentőségének megértésében.

Téma: "Anti-derivatív és integrál"

Típus: az ismeretek általánosításának és rendszerezésének órája.

A nyomtatvány: játék

Célok:

didaktikus:

· oktatási, kognitív és információs kompetenciák formálása általánosítással, az „Antiprimitív. Integral”, a görbe vonalú trapéz területének megtalálásához szükséges készségek kialakítása többféle módon.

fejlesztés:

· információs, általános kulturális kompetenciák kialakítása a kognitív tevékenység, a tantárgy iránti érdeklődés, a tanulók kreatív képességeinek fejlesztése, a látókör bővítése, a matematikai beszéd fejlesztése révén.

nevelési:

· a kommunikációs kompetencia és a személyes önfejlesztés kompetenciájának kialakítása a kommunikációs készségekre, az együttműködési képességre, az olyan személyes tulajdonságok nevelésére, mint a szervezettség, a fegyelem.

Az oktatás eszközei:

Műszaki: PC, projektor, vetítővászon.

Az órák alatt

Előkészületi szakasz: A csoportot előzetesen két csapatra osztják.

I. Szervezési mozzanat

Helló srácok! Örömmel üdvözöllek a leckén. Óránk célja az „Antiderivatív és integrál” témában ismeretek általánosítása, rendszerezése, felkészülés a közelgő tesztre.

Munkánk mottója: „Fedezzen fel mindent, hadd legyen az elméje az első” – ezek a szavak az ókori görög tudóshoz, Pythagorashoz tartoznak. (csúszik)

Szokatlan feljutást teszünk a „Tudás Csúcsának” tetejére.

A bajnokságot két csoportban vívják. Minden csoportnak saját oktatója van, aki értékeli az egyes „turisták” részvételi arányát a feljutásunkban.

A Tudáscsúcs tetejére elsőként jutó csoport lesz a győztes.

Az óra típusa:általánosító.

Feladatok:

Nevelési : adott témával kapcsolatos ismeretek rendszerezése, bővítése, elmélyítése.
Nevelési : az összehasonlítási, általánosítási, osztályozási, elemzési, következtetési képesség fejlesztésének elősegítése.
pedagógusok : a tanulók ön- és kölcsönös kontrollra ösztönzése, a kognitív tevékenység, az önállóság, a cél elérésében való kitartás ápolása.

Az órák alatt

ÉN. Idő szervezése

Alap- és működési bemelegítés, nagy sebességű szimulátor (Wasserman technológia elemei)

II. Ismétlés

A tanulók párban elismétlik az elméletet a témában, és válaszolnak egymás kérdéseire (1. melléklet). A helyes válasz egy pontot ér.

III. Házi feladat ellenőrzése

A tanulók párban füzeteket cserélnek és ellenőrzik egymást. 5 gyerek előzetesen elkészít egy példát kártyákon egy interaktív táblára a házi feladatból, és kommentálja a megoldást.

IV. Feladat aukció

1. Számítsa ki annak a kúpnak a térfogatát, amelynek alapterülete P, magassága pedig h!

2. Milyen munkát kell végezni, hogy a rugót 25 cm-rel megnyújtsuk?

3. Milyen munka szükséges ahhoz, hogy egy m tömegű testet rakéta segítségével h magasságba emeljünk?

4. Határozza meg egy görbe vonalú trapéz területét, amelyet az x tengely, az x=0, x=π egyenesek és az y=sin x függvény grafikonja határol.

5. Számítsa ki az alakzat területét, amelyet vonalak határolnak: y \u003d -x², y \u003d 0, x \u003d -2

V. Önálló munka

Minden feladatnak négy válasza van, amelyek közül csak egy helyes. A tanulónak speciális formába kell írnia a választási lehetőség számát, és minden feladathoz át kell húznia az általa választott válasz számát.

A tanár lyukakkal ellátott sablont használ (a lyukak árnyékoltak), amelynek a tanulói űrlapra való rárakása megállapítja mind a 4 feladat megoldásának helyességét.

Az önálló munkavégzés feladata 4 lehetőségben 4 feladathoz:

VI. Matematikai váltóverseny

Csapatmunka. Minden sor utolsó asztalán van egy lap 10 feladattal (asztalonként két kérdés). Az első tanulópár bármely két feladat elvégzése után átadja a lapot az ülők előtt. A munka akkor tekinthető befejezettnek, ha a tanár megkapja a 10 helyesen kitöltött feladatot tartalmazó lapot. (2. melléklet)
Az a csapat nyer, amelyik először old meg minden feladatot.

VII. A történelemből

Diákok egy csoportja jelentést készít a kifejezések és megnevezések eredetéről az „Antiprimitív. Integrál”, az integrálszámítás történetéből, a matematikusokról, akik felfedezéseket tettek ebben a témában.

VIII. Visszaverődés

Mit tanultál ebben a fejezetben?
Mit tanultál?
Mit kaptál?