Nodarbības tēma: “Antiatvasinājums un integrālis. Atvērtā nodarbība algebrā

Algebras stunda 12. klasē.

Nodarbības tēma: “Antiprimitīvs. Integrāls"

Mērķi:

izglītojošs

Vispārināt un konsolidēt materiālu par šo tēmu: antiatvasinājuma definīcija un īpašības, antiatvasinājumu tabula, antiatvasinājumu atrašanas noteikumi, integrāļa jēdziens, Ņūtona-Leibnica formula, figūru laukumu aprēķināšana. Diagnosticēt zināšanu un prasmju sistēmas asimilāciju un pielietojumu standarta līmeņa praktisko uzdevumu veikšanai ar pāreju uz augstāku līmeni, veicināt spēju analizēt, salīdzināt, izdarīt secinājumus attīstību.

Izglītojoši

veikt paaugstinātas sarežģītības uzdevumus, attīstīt vispārējās mācīšanās prasmes un mācīt domāt un veikt kontroli un paškontroli

pedagogiem

Izglītot, pozitīva attieksme pret mācīšanos, pret matemātiku

Nodarbības veids: Zināšanu vispārināšana un sistematizēšana

Darba formas: grupu, individuālais, diferencēts

Aprīkojums: kartītes patstāvīgajam darbam, diferencētam darbam, paškontroles lapa, projektors.

Nodarbību laikā

Laika organizēšana

Nodarbības mērķi un uzdevumi: Apkopot un nostiprināt materiālu par tēmu “Antiprimitīvs. Integrālis - antiatvasinājuma definīcija un īpašība, antiatvasinājumu tabula, antiatvasinājumu atrašanas noteikumi, integrāļa jēdziens, Ņūtona-Leibnica formula, skaitļu laukuma aprēķināšana. Diagnosticēt zināšanu un prasmju sistēmas asimilāciju un pielietojumu standarta līmeņa praktisko uzdevumu veikšanai ar pāreju uz augstāku līmeni, veicināt spēju analizēt, salīdzināt, izdarīt secinājumus attīstību.

Nodarbība notiks spēles veidā.

Noteikumi:

Nodarbība sastāv no 6 posmiem. Katrs posms ir noteikta punktu skaita vērts. Novērtēšanas lapā jūs iestatāt punktus par savu darbu visos posmos.

1. posms. Teorētiski. Matemātiskais diktāts "Tic-tac-toe".

2. posms. Praktiski. Patstāvīgs darbs. Atrodiet visu antiderivatīvu komplektu.

3. posms. "Hm ir labi, bet 2 ir labāk." Darbs burtnīcās un 2 skolēni uz tāfeles atlokiem. Atrodiet funkcijas antiatvasinājumu, kuras grafiks iet caur punktu A).

4.posms. "Labot kļūdas".

5. posms. "Izrunā vārdu" Integrāļu aprēķins.

6. posms. — Steidzieties redzēt. Ar līnijām norobežoto figūru laukumu aprēķins.

2. Novērtēšanas lapa.

Matemātiskā

diktāts

Patstāvīgs darbs

Mutiska atbilde

Labot kļūdas

Izdomā vārdu

steidzies redzēt

9 punkti

5+1 punkts

1 punkts

5 punkti

20 punkti

3 min.

5 minūtes.

6 min

2. Zināšanu atjaunināšana:

posms. Teorētiski. Matemātiskais diktāts "Tic-tac-toe"

Ja apgalvojums ir patiess - X, ja nepatiess - 0

Funkcija F(x) sauc par antiatvasinājumu noteiktā intervālā, ja visiem х no šī intervāla ir vienādība

Jaudas funkcijas antiatvasinājums vienmēr ir jaudas funkcija

Sarežģītas funkcijas antiatvasinājums

Šī ir Ņūtona-Leibnica formula

Līklīnijas trapeces laukums

Funkciju summas antiatvasinājums = antiatvasinājumu summa, kas ņemta vērā noteiktā intervālā

Antiatvasināto funkciju grafikus iegūst, paralēli translējot pa X asi ar konstanti C.

Skaitļa reizinājums funkcijai ir vienāds ar šī skaitļa reizinājumu ar dotās funkcijas antiatvasinājumu.

Visu antiatvasinājumu komplektam ir forma

Mutiska atbilde - 1 punkts

Kopā 9 punkti

3. Konsolidācija un vispārināšana

2 posms . Patstāvīgs darbs.

"Piemēri māca labāk nekā teorija."

Īzaks Ņūtons

Atrodiet visu antiatvasinājumu komplektu:

1 variants

Visu primitīvu kopums Visu primitīvu kopums

opciju

Visu primitīvu kopums Visu primitīvu kopums

Pašpārbaude.

Par pareizi izpildītiem uzdevumiem

1. variants — 5 punkti,

par 2. variantu +1 punkts

1 punkts par papildinājumu.

posms . "Prāts ir labs, a - 2 ir labāks."

Darbs pie divu studentu dēļa atlokiem un viss pārējais burtnīcās.

Uzdevums

1 variants. Atrodiet funkcijas antiatvasinājumu, kuras grafiks iet caur punktu A (3; 2)

2. iespēja. Atrodiet tādas funkcijas antiatvasinājumu, kuras grafiks iet caur izcelsmi.

Savstarpēja pārbaude.

Par pareizo risinājumu -5 punkti.

posms . Ja gribi, tici - ja gribi, pārbaudi.

Uzdevums: labot kļūdas, ja tādas ir.

Atrodiet vingrinājumus ar kļūdu:

Skatuves . Izveidojiet vārdu.

Aprēķināt integrāļus

1 variants.

opciju.

Atbilde: BRAVO

Pašpārbaude. Par pareizi izpildītu uzdevumu - 5 punkti.

posms. — Steidzieties redzēt.

aprēķins figūru apgabali, ko ierobežo līnijas.

Uzdevums: uzzīmējiet figūru un aprēķiniet tās laukumu.

2 punkti

4 punkti

6 punkti

Individuāli pārbauda ar skolotāju.

Par pareizi izpildītiem uzdevumiem - 20 punkti

Apkopojot:

Nodarbība aptvēra galvenos jautājumus

1. Mēs nesen izskatījām tēmu "Dažu elementāru funkciju atvasinājumi". Piemēram:

Funkcijas atvasinājums f(x)=x 9, mēs zinām, ka f′(x)=9x8. Tagad mēs apsvērsim tādas funkcijas atrašanas piemēru, kuras atvasinājums ir zināms.

Pieņemsim, ka mums ir dots atvasinājums f(x)=6x5 . Izmantojot zināšanas par atvasinājumu, mēs varam noteikt, kas ir funkcijas atvasinājums f(x)=x 6 . Funkciju, ko var noteikt pēc tās atvasinājuma, sauc par antiatvasinājumu. (Sniedziet antiatvasinājuma definīciju. (3. slaids))

1. definīcija: Funkciju F(x) sauc par segmenta funkcijas f(x) antiatvasinājumu, ja vienlīdzība ir spēkā visos šī segmenta punktos= f(x)

1. piemērs (4. slaids): pierādīsim, ka jebkuramхϵ(-∞;+∞) funkcija F(x)=х 5 -5х ir funkcijas antiatvasinājums f (x) \u003d 5x4 -5.

Pierādījums: Izmantojot antiatvasinājuma definīciju, mēs atrodam funkcijas atvasinājumu

\u003d (x 5 -5x) \u003d (x 5) \u003d (5x) \u003d 5x 4 -5.

2. piemērs (5. slaids): pierādīsim, ka jebkuramхϵ(-∞;+∞) funkcija F(x)= nav funkcijas antiatvasinājums f(x)= .

Pierādiet kopā ar studentiem uz tāfeles.

Mēs zinām, ka atvasinājuma atrašana tiek sauktadiferenciācija. Tiks izsaukta funkcijas atrašana pēc tās atvasinājumaintegrācija. (6. slaids). Integrācijas mērķis ir atrast visus dotās funkcijas antiatvasinājumus.

Piemēram: (7. slaids)

Antiatvasinājuma galvenā īpašība:

Teorēma: Ja F(x) ir viens no funkcijas f(x) antiatvasinājumiem intervālā X, tad visu šīs funkcijas antiatvasinājumu kopu nosaka pēc formulas G(x)=F(x)+C, kur C ir reāls skaitlis.

(8. slaids) antiatvasinājumu tabula

Trīs noteikumi antiderivatīvu atrašanai

Noteikums #1: Ja F ir f antiatvasinājums un G ir g antiatvasinājums, tad F+G ir f+g antiatvasinājums.

(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f + g

2. noteikums: Ja F ir f antiatvasinājums un k ir konstante, tad funkcija kF ir kf antiatvasinājums.

(kF)' = kF' = kf

3. noteikums: Ja F ir f antiatvasinājums un k un b ir konstantes (), tad funkcija

Antiatvasinājums priekš f(kx+b).

Integrāļa jēdziena vēsture ir cieši saistīta ar kvadratūru atrašanas problēmām. Senās Grieķijas un Romas matemātiķi vienas vai otras plakanas figūras kvadrātošanas problēmas sauca par problēmām, kuras tagad dēvējam par laukumu aprēķināšanas problēmām.. Daudzi nozīmīgi Senās Grieķijas matemātiķu sasniegumi šādu uzdevumu risināšanā ir saistīti ar izsīkuma izmantošanu. metode, ko ierosināja Eudokss no Knidosas. Ar šo metodi Eudoxus pierādīja:

1. Divu apļu laukumi ir saistīti kā to diametru kvadrāti.

2. Konusa tilpums ir vienāds ar 1/3 no cilindra tilpuma ar vienādu augstumu un pamatni.

Eudoksa metodi pilnveidoja Arhimēds, un tika pierādītas šādas lietas:

1. Apļa laukuma formulas atvasināšana.

2. Lodes tilpums ir 2/3 no cilindra tilpuma.

Visus sasniegumus ir pierādījuši lieliski matemātiķi, izmantojot integrāļus.

11.klase Orlova E.V.

"Antiderivatīvs un nenoteiktais integrālis"

1. SLAIDS

Nodarbības mērķi:

Izglītojoši : veidot un nostiprināt antiderivatīva jēdzienu, atrast dažāda līmeņa antiderivatīvās funkcijas.

Attīstās: Attīstīt studentu garīgo darbību, balstoties uz analīzes, salīdzināšanas, vispārināšanas, sistematizēšanas operācijām.

Izglītības: veidot skolēnu pasaules uzskatu, audzināt no atbildības par rezultātu, veiksmes sajūtu.

Nodarbības veids: apgūt jaunu materiālu.

Aprīkojums: dators, multimediju plate.

Paredzamie mācību rezultāti: studentam jābūt

atvasinājuma definīcija

antiderivatīvs ir definēts neviennozīmīgi.

atrast antiderivatīvās funkcijas vienkāršākajos gadījumos

pārbaudiet, vai funkcijas antiatvasinājums noteiktā laika intervālā.

Nodarbību laikā

Laika organizēšana 2. SLAIDS

Mājas darbu pārbaude

Tēmas vēstījums, nodarbības mērķis, izglītojošo aktivitāšu uzdevumi un motivācija.

Uz rakstīšanas tāfeles:

Atvasinājums - rada "jaunu funkciju".

antiatvasinājums - Primārais attēls.

4. Zināšanu aktualizēšana, zināšanu sistematizēšana salīdzinājumā.

Diferenciācija-atvasinājuma atrašana.

Integrācija ir funkcijas atjaunošana ar noteiktu atvasinājumu.

Ievads jaunajiem varoņiem:

5. Mutes vingrinājumi:3. SLAIDS

punktu vietā ieliec kādu funkciju, kas apmierina vienlīdzību.

studentu pašpārbaude.

studentu zināšanu papildināšana.

5. Jauna materiāla apgūšana.

A) Savstarpējas darbības matemātikā.

Skolotājs: matemātikā ir 2 savstarpēji apgrieztas darbības matemātikā. Apskatīsim salīdzinājumu. 4. SLAIDS

B) Savstarpējas darbības fizikā.

Mehānikas sadaļā aplūkotas divas savstarpēji apgrieztas problēmas.

Ātruma atrašana pēc dotā materiāla punkta kustības vienādojuma (funkcijas atvasinājuma atrašana) un kustības trajektorijas vienādojuma atrašana, izmantojot zināmo ātruma formulu.

C) Tiek ieviesta antiatvasināta, nenoteikta integrāļa definīcija

5., 6. SLAIDS

Skolotājs: Lai uzdevums kļūtu precīzāks, mums ir jālabo sākotnējā situācija.

D) Antiatvasinājumu tabula 7. SLAIDS

Uzdevumi primitīvā atrašanas spējas veidošanai - darbs grupās SLIDKALNIŅŠ 8

Uzdevumi, lai veidotu spēju pierādīt, ka antiatvasinājums ir funkcijai noteiktā intervālā - pāru darbs.

6.Fizminutka9. SLAIDS

7. Apgūtā primārā izpratne un pielietošana.10. SLAIDS

8. Mājas darbu kārtošana11. SLAIDS

9. Nodarbības rezumēšana.12. SLAIDS

Frontālās aptaujas laikā kopā ar skolēniem tiek summēti stundas rezultāti, apzināta jaunā materiāla jēdziena izpratne var būt emocijzīmju veidā.

Visu saprata, visu nokārtoja.

daļēji nesaprata (a), nepaguva visu izdarīt.

Algebras stundas metodiskā izstrāde par tēmu: "Antiatvasinājums un integrālis"

Tēma: "Antiatvasinājums un integrāls".

Grupa: 82 (14-TTOII-118)

Specialitāte: Ēdināšanas produktu tehnoloģija.

Veids: zināšanu vispārināšanas un sistematizēšanas nodarbība .

Veidlapa: UN gra.

Mērķi:

d idaktisks:

izglītojošo, kognitīvo un informatīvo kompetenču veidošana, vispārinot, sistematizējot zināšanas par tēmu “Antiprimitīvs. Integrāls”, prasmju veidošana izliektas trapeces laukuma atrašanā vairākos veidos.

izstrādājot:

informatīvo, vispārējo kultūras kompetenču veidošana, attīstot izziņas darbību, interesi par priekšmetu, skolēnu radošās spējas, paplašinot redzesloku, attīstot matemātisko runu.

izglītojošs:

komunikatīvās kompetences un personīgās pašpilnveidošanās kompetences veidošanās, strādājot pie komunikācijas prasmēm, spējas sadarboties, attīstot tādas personības īpašības kā organizācija, disciplīna.

Izglītības līdzekļi:

Tehnisks: Dators, projektors, ekrāns.

Nodarbību laikā

Sagatavošanas posms: Vispirms grupa tiek sadalīta divās komandās.

I. Organizatoriskais moments

Sveiki puiši! Es priecājos sveikt jūs nodarbībā. C mūsu nodarbības mērķis ir vispārināt, sistematizēt zināšanas par tēmu “Antiprimitīvie un integrāls”, sagatavojieties gaidāmajam pārbaudījumam.

Mūsu darba devīze: "Izpēti visu, ļaujiet savam prātam būt pirmajā vietā" - šie vārdi pieder sengrieķu zinātniekam Pitagoram.

Mēs veiksim neparastu kāpienu "Zināšanu virsotnes" virsotnē.

Čempionātā cīnīsies divas grupas. Katrai grupai ir savs instruktors, kurš izvērtē katra "tūrista" dalības līmeni mūsu kāpumā.

Pirmā grupa, kas sasniegs zināšanu virsotnes virsotni, būs uzvarētāja.

II. Mājasdarbu pārbaude: "Pārbaudiet mugursomas."

Pirms garā ceļojuma ir jāpārbauda, cik labi esat sagatavojies kāpumam. Pārbaudīsim mājasdarbus, kas tika uzdoti iepriekšējā nodarbībā:

Atrodiet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas:

Divi cilvēki pārmaiņus nāk pie tāfeles un īsi izskaidro slaidos sagatavoto risinājumu. Pārējie pārbauda.

es II. Iesildīties.

Ir pieņemts, ka cilvēks, gatavojoties sacensībām, parasti savu dienu sāk ar vingrinājumiem, tas ir, ar iesildīšanos.

Mēs arī iesildīsimies.

Ir 9 testa uzdevumi. Katra komanda pēc kārtas izvēlas jautājumu, par pareizajām atbildēm saņem žetonus (slaidu)

Dažas funkcijas nenoteikta integrāļa atrašanas darbību sauc ...

integrācija;

diferenciācija;

logaritms;

paaugstināšana;

sakņu ekstrakcija.

Pabeidziet definīciju:

Nenoteikts funkcijas integrālis y = f (x) tiek saukts:

funkcijas atvasinājums F (x );

visu funkcijas antiatvasinājumu kopa y = f (x );

visu funkcijas atvasinājumu kopa y = f (x );

laipna zīme.

Ņūtona-Leibnica formula:

Pabeidziet definīciju:

“Diferencējamu funkciju F(x) sauc par antiatvasinājumu funkcijai f(x) intervālā X, ja katrā šī intervāla punktā…”

esV . Matemātiskā stafete.

Tagad ceļā! Kāpšana uz "Zināšanu virsotni" nebūs viegla, var būt aizsprostojumi, sabrukumi, dreifēšana. Bet ir arī pieturas, kurās jūs gaida ne tikai uzdevumi. Lai virzītos uz priekšu, ir jāparāda zināšanas.

Komandas darbs. Uz katras rindas pēdējā galda ir lapa ar 8 uzdevumiem (katram galdam divi jautājumi). Pirmais skolēnu pāris, paveicis jebkurus divus uzdevumus, nodod lapu sēdošajiem priekšā. Darbs tiek uzskatīts par pabeigtu, kad skolotājs saņem lapu ar 8 pareizi izpildītiem uzdevumiem. Tie paši uzdevumi ir parādīti slaidā. Jūs varat atrisināt ne tikai savus uzdevumus, bet arī pārbaudīt komandas dalībnieku lēmumu pareizību.

Uzvar komanda, kas pirmā atrisina visus uzdevumus. Darba pārbaude tiek veikta, izmantojot slaidu. Nopelnītie punkti ir kumulatīvi.

Un tagad apstāšanās.

V. Apstāties.

“Laimīgs negadījums iekrīt tikai sagatavotos prātos” (Luiss Pastērs) (slaids).

Tiek nolasīta informācija no integrālrēķina vēstures (slaids).

Integrālo simbolu ieviesa Leibnics (1675). Šī zīme ir latīņu burta S maiņa (vārda summa pirmais burts). Pašu vārdu integrālis izdomājis J. Bernulli (1690). Tas, iespējams, nāk no latīņu integero, kas tulkojumā nozīmē atgriezt iepriekšējā stāvoklī, atjaunot. (Tiešām, integrācijas darbība “atjauno” funkciju, ar kuras diferenciāciju tika iegūts integrands.) Vārda integrāls izcelsme var būt dažāda: vārds vesels skaitlis nozīmē veselumu.

Sarakstes laikā I. Bernulli un G. Leibnics piekrita J. Bernulli priekšlikumam. Tad 1696. gadā parādījās jaunas matemātikas nozares nosaukums - integrālrēķins (calculus integralis), ko ieviesa I. Bernulli.

Integrālrēķina problēmu rašanās ir saistīta ar laukumu un tilpumu atrašanu. Vairākas šāda veida problēmas atrisināja senie matemātiķi.

Grieķija. Senā matemātika integrālrēķina idejas paredzēja daudz vairāk nekā diferenciālrēķinu. Liela loma šādu problēmu risināšanā bija izveidotai izsmeļošai metodei.

Knida Eudokss (ap 408. g. — ap 355. g. p.m.ē.) un plaši izmantots

Arhimēds (ap 287. - 212.g.pmē.).

17. gadsimtā tika veikti daudzi atklājumi saistībā ar integrālrēķinu. Tātad P. Fermā jau 1629. gadā atrisināja jebkuras līknes kvadrāta uzdevumu. Tomēr, neskatoties uz matemātiķu iegūto rezultātu nozīmīgumu.

XVII gadsimtā vēl nebija aprēķinu. Bija nepieciešams identificēt daudzu konkrētu problēmu risinājuma pamatā esošās vispārīgās idejas, kā arī izveidot saikni starp diferenciācijas un integrācijas operācijām, kas dod diezgan precīzu algoritmu. To izdarīja Ņūtons un Leibnics, kuri neatkarīgi atklāja jums zināmu faktu ar Ņūtona-Leibnica formulas nosaukumu.

Integrālrēķina izstrādē piedalījās krievu matemātiķi M. V. Ostrogradskis (1801-1862) un V. Ja. Buņakovskis.

Šīs problēmas risinājums ir saistīts ar O. Košī, viena no izcilākajiem matemātiķiem, vācu zinātnieka B. Rīmana (1826 - 1866), franču matemātiķa G. Darbu (1842 - 1917) vārdiem.

Atbildes uz daudziem jautājumiem, kas saistīti ar laukumu un figūru apjomu esamību, tika iegūtas ar K. Džordana (1826 - 1922) mēru teorijas izveidi.

Dažādus integrāļa jēdziena vispārinājumus jau mūsu gadsimta sākumā piedāvāja franču matemātiķi A. Lēbesgē (1875 - 1941) un

Padomju matemātiķa A. Ja. Hičina (1894 -1959) A. Danjojs (1884 - 1974).

VI. Grūtākais kāpiens.

Nākamo uzdevumu paredzēts veikt rakstiski, tāpēc skolēni strādā burtnīcās.

Uzdevums. Cik daudzos veidos jūs varat atrast figūras laukumu, ko ierobežo līnijas (slaids).

, , ,

Kam ir ieteikumi? (attēls sastāv no divām izliektām trapecām un taisnstūra) (izvēlieties, kā atrisināt slaidu).

Pēc šīs problēmas apspriešanas slaidā tiek parādīta piezīme:

1 ceļš: S \u003d S 1 + S 2 + S 3

2 ceļi: S \u003d S 1 + S ABCD -S OCD

Divi skolēni izlemj pie tāfeles, kam seko risinājuma skaidrojums, pārējie studenti strādā piezīmju grāmatiņās, izvēloties kādu no risinājuma metodēm (viens cilvēks no komandas).

Izvade(skolēni to dara): mēs atradām divus veidus, kā atrisināt šo problēmu, iegūstot tādu pašu rezultātu. Apspriediet, kurš veids ir vieglāks.

V II. Pēdējais kāpiens. Krustvārdu mīkla (slaids)

Visi ir ļoti noguruši, bet, jo tuvāk mērķim, uzdevumi kļūst arvien vieglāki un vieglāki.

Pēdējais kāpiens. Uz slaida ir krustvārdu mīkla. Tavs uzdevums ir to atrisināt. Savukārt katra komanda uzmin sev tīkamo vārdu, pieraksta atbildi.

VSH. Nodarbības kopsavilkums (slaids).

Nodarbības tēma: "Antiatvasinājums un integrāls" 11. klase (recenzija)

Nodarbības veids: vērtēšanas un zināšanu korekcijas nodarbība; atkārtošana, vispārināšana, zināšanu, prasmju veidošana.

Nodarbības moto : Kauns nav nezināt, kauns nemācīties.

Nodarbības mērķi:

Apmācības: atkārtot teorētisko materiālu; izstrādāt prasmes atrast antiatvasinājumus, aprēķināt līknes trapeces integrāļus un laukumus.
Attīstās: attīstīt patstāvīgas domāšanas prasmes, intelektuālās prasmes (analīze, sintēze, salīdzināšana, salīdzināšana), uzmanību, atmiņu.
Izglītības: skolēnu matemātiskās kultūras izglītošana, intereses palielināšana par apgūstamo materiālu, gatavošanās UNT.

Nodarbības plāns.

es Laika organizēšana

II. Studentu pamatzināšanu papildināšana.

1. Mutisks darbs ar klasi, lai atkārtotu definīcijas un īpašības:

1. Ko sauc par līknes trapeci?

2. Kāds ir funkcijas f(x)=x2 antiatvasinājums.

3. Kāda ir funkcijas noturības zīme?

4. Ko sauc par antiatvasinājumu F(x) funkcijai f(x) uz xI?

5. Kāds ir funkcijas f(x)=sinx antiatvasinājums.

6. Vai ir patiess apgalvojums: "Funkciju summas antiatvasinājums ir vienāds ar to antiatvasinājumu summu"?

7. Kāda ir antiatvasinājuma galvenā īpašība?

8. Kāds ir funkcijas f(x)= antiatvasinājums.

9. Vai ir patiess apgalvojums: “Funkciju reizinājuma antiatvasinājums ir vienāds ar to reizinājumu

Primitīvie?

10. Ko sauc par nenoteiktu integrāli?

11. Ko sauc par noteiktu integrāli?

12. Nosauciet dažus piemērus noteikta integrāļa izmantošanai ģeometrijā un fizikā.

Atbildes

1. Attēlu, ko ierobežo funkciju y=f(x), y=0, x=a, x=b grafiki, sauc par līknes trapeci.

2. F(x)=x3/3+С.

3. Ja F`(x0)=0 kādā intervālā, tad funkcija F(x) šajā intervālā ir nemainīga.

4. Funkciju F(x) sauc par antiatvasinājumu funkcijai f(x) noteiktā intervālā, ja visiem x no šī intervāla F`(x)=f(x).

5. F(x)= - cosx+C.

6. Jā, tieši tā. Tā ir viena no primitīvu īpašībām.

7. Jebkuru funkcijas f antiatvasinājumu noteiktā intervālā var uzrakstīt kā

F(x)+C, kur F(x) ir viens no funkcijas f(x) antiatvasinājumiem noteiktā intervālā, un C ir

Patvaļīga konstante.

9. Nē, nav taisnība. Tādas primitīvu īpašības nav.

10. Ja funkcijai y \u003d f (x) ir antiatvasinājums y \u003d F (x) noteiktā intervālā, tad visu antiatvasinājumu kopu y \u003d F (x) + C sauc par funkcijas nenoteikto integrāli. y \u003d f (x).

11. Atšķirība starp antiderivatīvās funkcijas vērtībām punktos b un a funkcijai y \u003d f (x) intervālā [ a ; b ] sauc par funkcijas f(x) noteikto integrāli intervālā [ a; b].

12.. Līklīnijas trapeces laukuma, ķermeņu tilpumu un ķermeņa ātruma aprēķināšana noteiktā laika periodā.

Integrāļa pielietojums. (Papildus rakstiet piezīmju grāmatiņās)

Daudzumi

Atvasinātais aprēķins

Integrālais aprēķins

s - nobīde,

A - paātrinājums

A(t) =

A - darbs,

F - spēks,

N - jauda

F(x) = A"(x)

N(t) = A"(t)

m ir tieva stieņa masa,

Līnijas blīvums

(x) = m"(x)

q - elektriskais lādiņš,

Es - strāvas stiprums

I(t) = q(t)

Q ir siltuma daudzums

C - siltuma jauda

c(t) = Q"(t)

Antiatvasinājumu aprēķināšanas noteikumi

- Ja F ir f antiatvasinājums, bet G ir g antiatvasinājums, tad F+G ir f+g antiatvasinājums.

Ja F ir f antiatvasinājums un k ir konstante, tad kF ir kf antiatvasinājums.

Ja F(x) ir f(x) antiatvasinājums, ak, b ir konstantes un k0, tas ir, f(kx+b) ir antiatvasinājums.

^ 4) - Ņūtona-Leibnica formula.

5) figūras laukums S, ko ierobežo taisnes x-a, x=b un nepārtrauktu funkciju grafiki uz intervāla un tā, ka visiem x aprēķina pēc formulas

6) Ķermeņu tilpumus, kas veidojas, griežoties līknei trapecei, kuru ierobežo līkne y = f (x), ass Ox un divas taisnes x = a un x = b ap asīm Ox un Oy, aprēķina attiecīgi formulas:

Atrodiet nenoteikto integrāli:(mutiski)

Atbildes:

III Uzdevumu risināšana ar klasi

1. Aprēķiniet noteikto integrāli: (piezīmju grāmatiņās viens skolēns uz tāfeles)

Uzdevumi zīmējumiem ar risinājumiem:

№ 1. Atrodiet līknes trapeces laukumu, ko ierobežo līnijas y= x3, y=0, x=-3, x=1.

Risinājums.

-∫ x3 dx + ∫ x3 dx = - (x4/4) | + (x4 /4) | = (-3) 4/4 + 1/4 = 82/4 = 20,5

№3. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas y=x3+1, y=0, x=0

№ 5.Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas y \u003d 4 -x2, y \u003d 0,

Risinājums. Vispirms izveidosim grafiku, lai noteiktu integrācijas robežas. Figūra sastāv no diviem identiskiem gabaliem. Aprēķiniet daļas laukumu pa labi no y ass un dubultojiet to.

№ 4.Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas y=1+2sin x, y=0, x=0, x=n/2

F(x) = x - 2cosx; S = F(p/2) - F(0) = p/2 -2cos p/2 - (0 - 2cos0) = p/2 + 2

Aprēķiniet līknes trapeces laukumu, ko ierobežo jums zināmo līniju grafiki.

3. Aprēķiniet iekrāsoto figūru laukumus no figūrām (patstāvīgais darbs pa pāriem)

Uzdevums: Aprēķiniet iekrāsotās figūras laukumu

III Nodarbības rezultāti.

a) pārdomas: -Kādus secinājumus no nodarbības izdarījāt sev?

Vai katram ir pie kā strādāt pašam?

Vai nodarbība jums bija noderīga?

b) studentu darbu analīze

c) Mājās: atkārtojiet visu antiatvasinājumu formulu īpašības, formulas, lai atrastu līknes trapeces laukumu, apgriezienu ķermeņu tilpumus. Nr. 136 (Shynybekov)