Tópico da lição: “Antiderivada e integral. Aula aberta de álgebra
Aula de álgebra no 12º ano.
Tema da aula: “Antiprimitivo. Integrante"
Metas:
educacional
Generalize e consolide o material sobre este tópico: a definição e a propriedade da primitiva, a tabela de primitivas, as regras para encontrar as primitivas, o conceito de integral, a fórmula de Newton-Leibniz, o cálculo das áreas das figuras. Diagnosticar a assimilação do sistema de conhecimentos e competências e a sua aplicação na realização de tarefas práticas de nível standard com a transição para um nível superior, para promover o desenvolvimento da capacidade de analisar, comparar, tirar conclusões.
Educacional
realizar tarefas de maior complexidade, desenvolver habilidades gerais de aprendizagem e ensinar a pensar e realizar controle e autocontrole
educadores
Educar, uma atitude positiva em relação à aprendizagem, à matemática
Tipo de aula: Generalização e sistematização do conhecimento
Formas de trabalho: grupo, individual, diferenciado
Equipamentos: cartões para trabalho independente, para trabalho diferenciado, folha de autocontrole, projetor.
Durante as aulas
Organizando o tempo
Metas e objetivos da lição: Resumir e consolidar o material sobre o tema “Antiprimitivo. Integral - definição e propriedade da antiderivada, tabela de antiderivadas, regras para encontrar antiderivadas, o conceito de integral, a fórmula de Newton-Leibniz, calculando a área das figuras. Diagnosticar a assimilação do sistema de conhecimentos e competências e a sua aplicação na realização de tarefas práticas de nível standard com a transição para um nível superior, para promover o desenvolvimento da capacidade de analisar, comparar, tirar conclusões.
A aula será em forma de jogo.
Regras:
A lição consiste em 6 etapas. Cada etapa vale um certo número de pontos. Na ficha de avaliação, você define pontos para o seu trabalho em todas as etapas.
Estágio 1. Teórico. Ditado matemático "Tic-tac-toe".
Etapa 2. Prático. Trabalho independente. Encontre o conjunto de todas as primitivas.
Etapa 3. "Hum é bom, mas 2 é melhor." Trabalho em cadernos e 2 alunos nas lapelas do quadro. Encontre a primitiva da função cujo gráfico passa pelo ponto A).
4.estágio. "Corrigir erros".
5. estágio. "Faça uma palavra" Cálculo de integrais.
6. estágio. "Depressa para ver." Cálculo das áreas de figuras delimitadas por linhas.
2. Folha de avaliação.
Matemáticoditado
Trabalho independente
Resposta oral
Corrigir erros
Invente uma palavra
pressa para ver
9 pontos
5+1 pontos
1 ponto
5 pontos
5 pontos
20 pontos
3 min.
5 minutos.
5 minutos.
6 minutos
2. Atualização do conhecimento:
etapa. Teórico. Ditado matemático "Tic-tac-toe"
Se a afirmação for verdadeira - X, se for falsa - 0
Função F(x) é chamada antiderivada em um dado intervalo se para todo х desse intervalo a igualdade
A primitiva de uma função de potência é sempre uma função de potência
Uma primitiva de uma função composta
Esta é a fórmula de Newton-Leibniz
Área de um trapézio curvilíneo
Antiderivada da soma das funções = soma das primitivas consideradas em um determinado intervalo
Gráficos de funções antiderivadas são obtidos por translação paralela ao longo do eixo X por uma constante C.
O produto de um número vezes uma função é igual ao produto desse número vezes a primitiva da função dada.
O conjunto de todas as primitivas tem a forma
Total de 9 pontos
3. Consolidação e generalização
2 etapa . Trabalho independente.
"Os exemplos ensinam melhor que a teoria."
Isaac Newton
Encontre o conjunto de todas as primitivas:
1 opção
O conjunto de todas as primitivas O conjunto de todas as primitivasopção
Auto teste.
Para tarefas concluídas corretamente
Opção 1 - 5 pontos,
para a opção 2 +1 ponto
1 ponto para adição.
etapa . "A mente é boa, a - 2 é melhor."
Trabalhe nas lapelas do quadro de dois alunos e todo o resto em cadernos.
A tarefa
1 opção. Encontre a primitiva da função, cujo gráfico passa pelo ponto A (3; 2)
Opção 2. Encontre a primitiva de uma função cujo gráfico passa pela origem.
Verificação mútua.
Para a solução correta -5 pontos.
etapa . Se quiser, acredite - se quiser, verifique.
Tarefa: corrigir erros, se houver.
Encontre exercícios com um erro:
Etapa . Componha uma palavra.
Calcular integrais
1 opção.
opção.
Resposta: BRAVO
Auto teste. Para uma tarefa concluída corretamente - 5 pontos.
etapa. "Depressa para ver."
Cálculo áreas de figuras delimitadas por linhas.
Tarefa: desenhe uma figura e calcule sua área.
2 pontos
2 pontos
4 pontos
6 pontos
6 pontos
Verificado individualmente com o professor.
Para completar todas as tarefas corretamente - 20 pontos
Resumindo:
A aula abordou as principais questões
1. Recentemente passamos pelo tópico "Derivadas de algumas funções elementares". Por exemplo:
Função derivada f(x)=x 9 , sabemos que f′(x)=9x 8 . Agora vamos considerar um exemplo de encontrar uma função cuja derivada é conhecida.
Suponha que nos seja dada uma derivada f(x)=6x5 . Usando o conhecimento da derivada, podemos determinar qual é a derivada da função f(x)=x6 . Uma função que pode ser determinada por sua derivada é chamada de antiderivada. (Dê uma definição de antiderivada. (slide 3))
Definição 1: A função F(x) é chamada de primitiva da função f(x) no segmento, se a igualdade vale em todos os pontos deste segmento= f(x)
Exemplo 1 (slide 4): Vamos provar que para qualquerхϵ(-∞;+∞) função F(x)=х 5 -5х é a primitiva da função f (x) \u003d 5x 4 -5.
Prova: Usando a definição de antiderivada, encontramos a derivada da função
\u003d ( x 5 -5x) \u003d (x 5 ) \u003d (5x) \u003d 5x 4 -5.
Exemplo 2 (slide 5): Vamos provar que para qualquerхϵ(-∞;+∞) função F(x)= não é antiderivada para a função f(x)= .
Prove com os alunos no quadro-negro.
Sabemos que encontrar a derivada é chamadodiferenciação. Encontrar uma função por sua derivada será chamadointegração. (Slide 6). O objetivo da integração é encontrar todas as primitivas de uma dada função.
Por exemplo: (slide 7)
A principal propriedade da primitiva:
Teorema: Se F(x) é uma das primitivas da função f(x) no intervalo X, então o conjunto de todas as primitivas desta função é determinado pela fórmula G(x)=F(x)+C, onde C é um número real.
(Slide 8) tabela de primitivas
Três regras para encontrar primitivas
Regra 1: Se F é a antiderivada de f e G é a antiderivada de g, então F+G é a antiderivada de f+g.
(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f + g
Regra nº 2: Se F é uma antiderivada de f e k é uma constante, então a função kF é uma antiderivada de kf.
(kF)' = kF' = kf
Regra nº 3: Se F é a primitiva de f e k e b são constantes (), então a função
Antiderivada para f(kx+b).
A história do conceito de integral está intimamente ligada aos problemas de encontrar quadraturas. Os matemáticos da Grécia Antiga e Roma chamavam os problemas da quadratura de uma ou outra figura plana como problemas que agora chamamos de problemas para calcular áreas. método proposto por Eudoxo de Knidos. Com este método, Eudoxus provou:
1. As áreas de dois círculos estão relacionadas como os quadrados de seus diâmetros.
2. O volume de um cone é igual a 1/3 do volume de um cilindro de mesma altura e base.
O método de Eudoxo foi aperfeiçoado por Arquimedes e as seguintes coisas foram comprovadas:
1. Derivação da fórmula para a área de um círculo.
2. O volume da esfera é 2/3 do volume do cilindro.
Todas as conquistas foram comprovadas por grandes matemáticos usando integrais.
11º ano Orlova E.V.
"A primitiva e a integral indefinida"
SLIDE 1
Lições objetivas:
Educacional : formar e consolidar o conceito de antiderivada, encontrar funções antiderivadas de diferentes níveis.
Em desenvolvimento: desenvolver a atividade mental dos alunos, com base nas operações de análise, comparação, generalização, sistematização.
Educacional: formar a visão de mundo dos alunos, educar a partir da responsabilidade pelo resultado, uma sensação de sucesso.
Tipo de aula: aprendendo novos materiais.
Equipamento: computador, placa multimídia.
Resultados de aprendizagem esperados: aluno deve
definição de derivado
antiderivada é definida de forma ambígua.
encontrar funções antiderivadas nos casos mais simples
verificar se a primitiva para uma função em um determinado intervalo de tempo.
Durante as aulas
Organizando o tempo SLIDE 2
Verificando a lição de casa
A mensagem do tópico, o objetivo da aula, as tarefas e a motivação das atividades educacionais.
No quadro de escrita:
Derivado -produz "uma nova função".
antiderivada - Imagem Primária.
4. Atualização do conhecimento, sistematização do conhecimento em comparação.
Diferenciação-encontrando a derivada.
Integração é a restauração de uma função por uma dada derivada.
Introdução aos novos personagens:
5. Exercícios orais:SLIDE 3
em vez de pontos, coloque alguma função que satisfaça a igualdade.
autoteste do aluno.
atualizar o conhecimento dos alunos.
5. Aprendendo novos materiais.
A) Operações recíprocas em matemática.
Professor: em matemática existem 2 operações mutuamente inversas em matemática. Vamos dar uma olhada na comparação. SLIDE 4
B) Operações recíprocas em física.
Dois problemas mutuamente inversos são considerados na seção de mecânica.
Encontrando a velocidade de acordo com a equação de movimento dada de um ponto material (encontrando a derivada da função) e encontrando a equação para a trajetória do movimento usando a fórmula conhecida para velocidade.
C) A definição de uma antiderivada, integral indefinida é introduzida
SLIDE 5, 6
Professora: para que a tarefa se torne mais específica, precisamos corrigir a situação inicial.
D) Tabela de primitivas SLIDE 7
Tarefas para a formação da capacidade de encontrar o primitivo - trabalhar em grupos SLIDE 8
Tarefas para a formação da capacidade de provar que a antiderivada é para uma função em um determinado intervalo - trabalho de pares.
6.FizminutkaSLIDE 9
7. Compreensão primária e aplicação do que foi aprendido.SLIDE 10
8. Definindo a lição de casaSLIDE 11
9. Resumindo a lição.SLIDE 12
Durante o levantamento frontal, junto com os alunos, os resultados da aula são resumidos, uma compreensão consciente do conceito de novo material pode ser na forma de emoticons.
Compreendia tudo, administrava tudo.
parcialmente não entendeu (a), não conseguiu fazer tudo.
Desenvolvimento metódico de uma lição de álgebra sobre o tema: "Antiderivada e integral"
Tema: "Anti-derivada e integral".
Grupo: 82 (14-TTOII-118)
Especialidade: Tecnologia de produtos de catering.
Tipo: lição de generalização e sistematização do conhecimento .
A forma: E gra.
Metas:
d idático:
a formação de competências educativas, cognitivas e informacionais, por meio da generalização, sistematização do conhecimento sobre o tema “Antiprimitivo. Integral”, a formação de habilidades em encontrar a área de um trapézio curvilíneo de várias maneiras.
em desenvolvimento:
a formação de competências informacionais, culturais gerais por meio do desenvolvimento da atividade cognitiva, do interesse pelo assunto, das habilidades criativas dos alunos, ampliando seus horizontes, desenvolvendo o discurso matemático.
educacional:
a formação de competência comunicativa e a competência de auto-aperfeiçoamento pessoal, através do trabalho em habilidades de comunicação, a capacidade de trabalhar em cooperação, no desenvolvimento de qualidades pessoais como organização, disciplina.
Meios de educação:
Técnico: PC, projetor, tela.
Durante as aulas
Fase preparatória: O grupo é primeiro dividido em duas equipes.
I. Momento organizacional
Ola pessoal! Fico feliz em recebê-lo para a aula. C o objetivo de nossa lição é generalizar, sistematizar o conhecimento sobre o tema “Antiprimitivo e integral”, prepare-se para o próximo teste.
O lema do nosso trabalho: "Explore tudo, deixe sua mente vir primeiro" - essas palavras pertencem ao antigo cientista grego Pitágoras.
Faremos uma subida inusitada ao topo do "Pico do Conhecimento".
O campeonato será disputado por dois grupos. Cada grupo tem seu próprio instrutor, que avalia a taxa de participação de cada “turista” em nossa ascensão.
O primeiro grupo a chegar ao topo do Pico do Conhecimento será o vencedor.
II. Verificando a lição de casa: "Verifique as mochilas."
Antes de uma longa jornada, você precisa verificar o quão bem você se preparou para a subida. Vamos verificar a lição de casa que foi dada na lição anterior:
Encontre a área de uma figura delimitada por linhas:
, 
Duas pessoas se revezam chegando ao quadro e explicando brevemente a solução que prepararam nos slides. O resto está verificando.
eu II. Aquecimento.
Aceita-se que uma pessoa, se preparando para uma competição, geralmente comece seu dia com exercícios, ou seja, com um aquecimento.
Vamos fazer alguns aquecimentos também.
Existem 9 tarefas de teste. Cada equipe, por sua vez, escolhe uma pergunta, para as respostas corretas eles recebem fichas (slide)
A operação de encontrar uma integral indefinida de alguma função é chamada ...
integração;
diferenciação;
logaritmo;
exponenciação;
extração de raízes.
Finalize a definição:
Integral indefinida de uma função y = f (x) é chamado:
função derivada F (x );
o conjunto de todas as primitivas de uma função y = f (x );
conjunto de todas as derivadas de uma função y = f (x );
sinal amável.
Fórmula de Newton-Leibniz:
Finalize a definição:
“Uma função diferenciável F(x) é chamada de antiderivada para uma função f(x) em um intervalo X se em cada ponto desse intervalo…”
euV . Relé matemático.
Agora na estrada! A ascensão ao "Pico do Conhecimento" não será fácil, pode haver bloqueios, colapsos e desvios. Mas também há paradas, onde não apenas as tarefas estão esperando por você. Para seguir em frente, você precisa mostrar conhecimento.
Trabalho em equipe. Na última carteira de cada fila há uma folha com 8 tarefas (duas questões para cada carteira). A primeira dupla de alunos, tendo completado duas tarefas quaisquer, passa a folha na frente dos que estão sentados. O trabalho é considerado concluído quando o professor recebe uma folha com 8 tarefas concluídas corretamente. As mesmas tarefas são apresentadas no slide. Você pode resolver não apenas suas próprias tarefas, mas também verificar a exatidão das decisões dos membros de sua equipe.
A equipe que resolver todas as tarefas primeiro vence. A verificação do trabalho é realizada usando um slide. Os pontos ganhos são cumulativos.
E agora uma parada.
V. Pare.
“Um feliz acidente só cai em mentes preparadas” (Louis Pasteur) (slide).
As informações da história do cálculo integral são lidas (slide).
O símbolo integral foi introduzido por Leibniz (1675). Este sinal é uma mudança da letra latina S (a primeira letra da palavra soma). A própria palavra integral foi cunhada por J. Bernoulli (1690). Provavelmente vem do latim integero, que se traduz como trazer de volta ao seu estado anterior, restaurar. (De fato, a operação de integração “restaura” a função, pela diferenciação da qual o integrando foi obtido.) A origem da palavra integral pode ser diferente: a palavra inteiro significa inteiro.
Durante a correspondência, I. Bernoulli e G. Leibniz concordaram com a proposta de J. Bernoulli. Então, em 1696, apareceu o nome de um novo ramo da matemática - cálculo integral (calculus integralis), que foi introduzido por I. Bernoulli.
O surgimento de problemas de cálculo integral está associado a encontrar áreas e volumes. Vários problemas desse tipo foram resolvidos por matemáticos antigos.
Grécia. A matemática antiga antecipou as idéias do cálculo integral em uma extensão muito maior do que o cálculo diferencial. Um grande papel na solução de tais problemas foi desempenhado por um método exaustivo criado.
Eudoxo de Cnido (c. 408 - c. 355 aC) e amplamente utilizado
Arquimedes (c. 287 - 212 aC).
No século XVII, muitas descobertas relacionadas ao cálculo integral foram feitas. Assim, P. Fermat já em 1629 resolveu o problema da quadratura de qualquer curva. No entanto, apesar da significância dos resultados obtidos pelos matemáticos.
XVII, ainda não havia cálculo. Foi necessário identificar as ideias gerais subjacentes à solução de muitos problemas particulares, bem como estabelecer uma ligação entre as operações de diferenciação e integração, o que dá um algoritmo bastante preciso. Isso foi feito por Newton e Leibniz, que descobriram independentemente um fato conhecido por você sob o nome da fórmula de Newton-Leibniz.
Os matemáticos russos M. V. Ostrogradsky (1801-1862) e V. Ya. Bunyakovsky participaram do desenvolvimento do cálculo integral.
A solução deste problema está associada aos nomes de O. Cauchy, um dos maiores matemáticos, o cientista alemão B. Riemann (1826 - 1866), o matemático francês G. Darboux (1842 - 1917).
As respostas para muitas questões relacionadas à existência de áreas e volumes de figuras foram obtidas com a criação da teoria da medida por K. Jordan (1826 - 1922).
Várias generalizações do conceito de integral já eram no início do nosso século propostas pelos matemáticos franceses A. Lebesgue (1875 - 1941) e
A. Danjoy (1884 - 1974) pelo matemático soviético A. Ya. Khichin (1894 -1959).
VI. A subida mais difícil.
A próxima tarefa deve ser feita por escrito, para que os alunos trabalhem em cadernos.
Uma tarefa. De quantas maneiras você pode encontrar a área de uma figura delimitada por linhas (slide).
, , ,
Quem tem sugestões? (a figura consiste em dois trapézios curvilíneos e um retângulo) (escolha como resolver o slide).
Depois de discutir esta questão, uma nota aparece no slide:
1 maneira: S \u003d S 1 + S 2 + S 3
2 maneiras: S \u003d S 1 + S ABCD -S OCD
Dois alunos decidem no quadro seguido de uma explicação da solução, os restantes alunos trabalham em cadernos, escolhendo um dos métodos de solução (uma pessoa da equipa).
Saída(os alunos fazem): encontramos duas maneiras de resolver esse problema, obtendo o mesmo resultado. Discuta qual caminho é mais fácil.
V II. Última subida. Palavras cruzadas (slide)
Todo mundo está muito cansado, mas quanto mais próximo do objetivo, as tarefas ficam cada vez mais fáceis.
Última subida. No slide há um jogo de palavras cruzadas. Sua tarefa é resolvê-lo. Por sua vez, cada equipe adivinha a palavra que gosta, escreve a resposta.
VSH. Resumo da lição (slide).
Tópico da lição: "Anti-derivada e integral" 11ª série (revisão)
Tipo de aula: aula de avaliação e correção de conhecimentos; repetição, generalização, formação de conhecimento, habilidades.
Lema da lição : Não é uma pena não saber, é uma pena não aprender.
Lições objetivas:
- Tutoriais: repetir material teórico; desenvolver as habilidades de encontrar primitivas, calcular integrais e áreas de trapézios curvilíneos.
- Em desenvolvimento: desenvolver habilidades de pensamento independente, habilidades intelectuais (análise, síntese, comparação, comparação), atenção, memória.
- Educacional: educação da cultura matemática dos alunos, aumentando o interesse pelo material a ser estudado, preparando-se para a UNT.
Plano de esboço de aula.
EU. Organizando o tempo
II. Atualização dos conhecimentos básicos dos alunos.
1. Trabalho oral com a turma para repetir definições e propriedades:
1. O que é chamado de trapézio curvilíneo?
2. Qual é a primitiva da função f(x)=x2.
3. Qual é o sinal da constância da função?
4. O que é chamado de antiderivada F(x) para a função f(x) em xI?
5. Qual é a primitiva da função f(x)=sinx.
6. A afirmação é verdadeira: "A primitiva da soma das funções é igual à soma das suas primitivas"?
7. Qual é a principal propriedade da antiderivada?
8. Qual é a primitiva da função f(x)=.
9. A afirmação é verdadeira: “A primitiva do produto de funções é igual ao produto de suas
Primitivos?
10. O que é chamado de integral indefinida?
11. O que é chamado de integral definida?
12. Cite alguns exemplos do uso de uma integral definida em geometria e física.
Respostas
1. Uma figura limitada pelos gráficos das funções y=f(x), y=0, x=a, x=b é chamada de trapézio curvilíneo.
2. F(x)=x3/3+С.
3. Se F`(x0)=0 em algum intervalo, então a função F(x) é constante nesse intervalo.
4. A função F(x) é chamada de antiderivada para a função f(x) em um dado intervalo, se para todo x desse intervalo F`(x)=f(x).
5. F(x)= - cosx+C.
6. Sim, isso mesmo. Esta é uma das propriedades das primitivas.
7. Qualquer primitiva para uma função f em um dado intervalo pode ser escrita como
F(x)+C, onde F(x) é uma das primitivas para a função f(x) em um dado intervalo, e C é
Constante arbitrária.
9. Não, não é verdade. Não existe tal propriedade de primitivos.
10. Se a função y \u003d f (x) tiver uma primitiva y \u003d F (x) em um determinado intervalo, então o conjunto de todas as primitivas y \u003d F (x) + C é chamado de integral indefinida da função y \u003d f (x).
11. A diferença entre os valores da função antiderivada em pontos b e a para a função y \u003d f (x) no intervalo [ a ; b ] é chamada de integral definida da função f(x) no intervalo [ uma; b] .
12.. Cálculo da área de um trapézio curvilíneo, volumes de corpos e cálculo da velocidade de um corpo em um determinado período de tempo.
Aplicação da integral. (Escrever adicionalmente em cadernos)
Quantidades
Cálculo derivativo
Cálculo integral
s - deslocamento,
A - aceleração
A(t) =
Um trabalho,
F - força,
N - potência
F(x) = A"(x)
N(t) = A"(t)
m é a massa de uma haste fina,
Densidade da linha
(x) = m"(x)
q - carga elétrica,
I - força atual
I(t) = q(t)
Q é a quantidade de calor
C - capacidade de calor
c(t) = Q"(t)
Regras para calcular as primitivas
- Se F é uma antiderivada de f, e G é uma antiderivada de g, então F+G é uma antiderivada de f+g.
Se F é a primitiva de f e k é uma constante, então kF é a primitiva de kf.
Se F(x) é uma antiderivada para f(x), ak, b são constantes, e k0, ou seja, existe uma antiderivada para f(kx+b).
^ 4) - Fórmula de Newton-Leibniz.
5) A área S da figura limitada pelas linhas retas x-a, x=b e os gráficos de funções contínuas no intervalo e tal que para todo x é calculado pela fórmula
6) Os volumes dos corpos formados pela rotação de um trapézio curvilíneo limitado por uma curva y = f (x), o eixo Ox e duas retas x = a e x = b em torno dos eixos Ox e Oy, são calculados respectivamente por as fórmulas:
Encontre a integral indefinida:(oralmente)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Respostas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
III Resolvendo tarefas com uma classe
1. Calcule a integral definida: (nos cadernos, um aluno no quadro)
Tarefas para desenhos com soluções:
№ 1. Encontre a área de um trapézio curvilíneo limitado pelas linhas y= x3, y=0, x=-3, x=1.
Solução.
-∫ x3 dx + ∫ x3 dx = - (x4/4) | + (x4 /4) | = (-3)4/4 + 1/4 = 82/4 = 20,5
№3. Calcule a área da figura limitada pelas linhas y=x3+1, y=0, x=0
№ 5.Calcule a área da figura delimitada pelas linhas y \u003d 4 -x2, y \u003d 0,
Solução. Primeiro, vamos traçar um gráfico para determinar os limites de integração. A figura consiste em duas peças idênticas. Calcule a área da peça à direita do eixo y e dobre-a.
№ 4.Calcule a área da figura limitada pelas linhas y=1+2sen x, y=0, x=0, x=n/2
F(x) = x - 2cosx; S = F(p/2) - F(0) = p/2 -2cos p/2 - (0 - 2cos0) = p/2 + 2
Calcule a área de trapézios curvilíneos delimitados por gráficos de linhas conhecidas por você.
3. Calcule as áreas das figuras sombreadas das figuras (trabalho independente em pares)
Tarefa: Calcular a área da figura sombreada
Tarefa: Calcular a área da figura sombreada
III Os resultados da lição.
a) reflexão: -Que conclusões tirou da lição para si mesmo?
Existe algo para que todos possam trabalhar por conta própria?
A lição foi útil para você?
b) análise do trabalho dos alunos
c) Em casa: repita as propriedades de todas as fórmulas de antiderivadas, as fórmulas para encontrar a área de um trapézio curvilíneo, os volumes dos corpos de revolução. Nº 136 (Shynybekov)